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2019年10月24日

中学数学「2乗に比例する関数」。変化の割合と a(p+q)の威力。

中学数学「2乗に比例する関数」。変化の割合と a(p+q)の威力。


さて、今回は中学数学に戻り、「2乗に比例する関数」を考えてみます。

中学数学では、2次関数のグラフの頂点は常に原点です。
一般式は、y=ax2 となります。
これが、「2乗に比例する関数」と呼ばれるものです。

この単元で重要なのは、単元の後半の「放物線と直線」「放物線と図形」などの問題です。
高校入試で出題されるのもそこです。
しかし、学習の前半、意外に苦戦するのが、「変化の割合」に関する問題です。

問題 関数 y=-1/4x2 において、xが-9から-6まで増加するときの変化の割合を求めよ。

変化の割合とは、
yの増加量
xの増加量

で求められるものです。
それは、グラフ上の2点を結んだ直線の傾きでもあります。

1次関数においては、変化の割合はグラフの傾きと等しく、y=ax+b のaの値そのものでしたから、特に問題ありませんでした。
しかし、2乗に比例する関数は、yの増加量が刻々と変化するものですから、変化の割合は計算しないと求められません。

上の問題で言えば、まずそれぞれのxの値に対するyの値を計算する必要があります。

x=-9のとき、y=-1/4×(-9)2=-81/4
x=-6のとき、y=-1/4×(-6)2=-36/4
xの増加量は3。
yの増加量は、-36/4-(-81/4)=45/4
よって、変化の割合は、45/4÷3=15/4

負の数の計算であること。
変化の割合を計算する際に、分子が分数である、繁文数になってしまうこと。
そういうこともあって、途中で計算ミスをしたり、計算の仕方がわからなくなって答えが出せない子が多い問題です。


計算力がないから、自分はこういう問題は正答できない・・・。

しかし、諦める必要はありません。
2乗に比例する関数の変化の割合は、簡単に求める公式があります。
関数 y=ax2 において、xがpからqに増加したときの変化の割合は、
a(p+q) で求められるのです。

上の問題で言えば、-1/4(-9-6)=-1/4×(-15)=15/4
と、実にあっけなく、正解を出すことができます。

何で a(p+q) で変化の割合が求められるのか?
まずはその証明をしましょう。

y=ax2 において、
x=p のとき、y=ap2
x=q のとき、y=aq2
よって、変化の割合は、
(aq2-ap2)/(q-p)
分子を因数分解しましょう。
=a(q2-p2)/(q-p)
=a(q+p)(q-p)/(q-p)
分母・分子に同じ(q-p)がありますから、それで約分できます。
=a(q+p)
=a(p+q)

pやqが負の数のときは、その符号も含めて単純に足したものに a をかければ、すぐに変化の割合を求めることができるのです。


この公式は公立の中学校では教えません。
変化の割合の本来の意味と公式の見た目とがかけ離れているため、理解できない子や誤用する子が多いからだと思います。
中学の段階では、変化の割合の本来の意味をしっかり理解することのほうが重要です。
変化の割合は、高校数学では「平均変化率」という言葉に変わり、これが微分で大きな意味を持ちます。
非常に重要な学習事項です。
a(p+q) という公式は、頂点が原点にある放物線、すなわち y=ax2 においてのみ使用できる公式です。
高校に入って、もっと一般的な2次関数 y=a(x-p)2+q の学習をするようになったときには使用できません。
使用期間が限定的であり、かつ、実感に乏しい。
こんな公式、教えませんよね。

ところが、中高一貫校では教えます。
進学塾の、学力が上のクラスでは教えます。
私も、学力の高い子には教えます。

だって、本来の求め方をすると、時間がかかる上に計算ミスのリスクが高いのです。
この公式で求められるのなら、この公式で解いたほうが良いでしょう。

この公式を教えたときの公立中学の生徒の反応は色々です。
積極的に活用する子もいますが、教わってもこの公式を使わない子もいます。
理解できなかったからかな?というとそうではなく、学校で教わっていない公式を使ったらダメなのではないか、というためらいがあるようなのです。
学校の問題集の発展問題に、a(p+q)を証明する問題が載っている場合は、
「先生に、何でこんな解き方をしたのと言われたら、学校の問題集に載っていたと説明すれば大丈夫だよ」
と言うと、ほっとした顔をして、それからは安心して使う子もいます。
学校で教わった解き方をしないとテストでバツにされる、あるいは目をつけられると思っているのかもしれません。
数学の先生にそんな人はいないのですが、何だか信用していないんですね。

小学生の子が、夏休みの筆算の宿題で定規を使っていなかったので全問解き直しをさせられたとか、かけ算の順番を逆に書いたのでバツにされているテストの画像がネット上げられているのを見たりします。
なるほど、日本は広い。
そんな目にあう子もいるのだなあと思うのですが、それは小学生の話。
小学校の先生は、数学の先生ではないのです。
数学的に正しいとはどういうことかという感覚のない人もなかにはいるので、そんな「事故」もときに起こってしまうのだと思います。
小学校の先生は、もっと別のことの専門家なので、仕方ないんじゃないかなと思います。

中学の数学のテストは、「数学のテスト」なのですから、数学的に正しければ、その先生が教えた解き方であろうとなかろうと、マルをもらえます。
その先生が、その解き方を知らないわけではないですから。
公立中学で教えても教育効果が上がらないと思うから教えないだけです。
その子がわかって活用しているのなら、例えば中学生が三角形の面積を求めるのに三角比を使おうとベクトルを使おうと、マルはくれます。
そこは信用していいところだと思います。

こういうことは、でも、その子はむしろ被害者かもしれません。
大人を怒らせないように言動に気をつける。
目をつけられないように用心する。
それが行動規範になると、数学よりも、むしろ他の科目で弊害が出ます。
特に、国語と社会。

高校の入試問題は、偏差値の高い高校になればなるほど、出題される小説は規範を外れた内容だったりします。
川端康成や三島由紀夫の小説がさらっと出題されています。
文学の毒がたっぷり盛られた小説を、そういう子たちは読み取れません。
小説は「人はこう生きるべきである」といった、正しいこと、ためになることが書いてあると思い込んでいるのかもしれません。
四択問題ですと、やたら道徳的でもっともらしいことが述べられている選択肢にあっさり引っかかり、失点します。
「国語は道徳の時間じゃありませんから、そんな説教くさいことを書いてある選択肢は、見た瞬間に消去しなさい。出題されている文章が説教くさい文章だったら仕方ないですけど、これはそうじゃないでしょう?」
と言っても、キョトンとした顔をします。

入試問題は、論説文もかなりエッジが効いていることがあります。
それを読んだ上での200字作文が「私もこれからは一生懸命努力して~」といった決意表明になってしまう子もいます。
いやいやいや、そんな決意表明は要求されていない・・・。
この文章を読んで、なぜその決意になる?
むしろ、読解できていないことを表明しているだけなのでは?
しかし、そういう作文しか書けない子もいるのです。
道徳的なことを書いておけば安心。
それ以外のことを書けと言われると、途端に言葉を失う・・・。

社会は、地理や歴史はそれほど影響が出ないのですが、公民で妙な選択肢に引っかかります。
「日本国憲法は、国民の義務を明確にし、国民の権利の過剰な行使を制限するものであり、その改正は内閣が決定し、内閣総理大臣が公布する」
といった、社会科の先生が遊んでいるとしか思えない選択肢を選んでしまうのです。
ここまでくると、
社会科の授業、ちゃんと聞いてる?
憲法の原文を読んだことある?
もしかして、世の中ってそういうものだと思っている?
君を縛るものは、日本国憲法ではなく、そうだと思い込んでいる君の心の中にある何かだよ?
と心配になってしまいます。

真面目な優等生なんだけれど、テストで案外得点が伸びないのは、むしろそういうところが原因かもしれない。
志望校に合格すれば、そんな固定観念を易々と打ち破る人間関係や経験に恵まれるだろう。
何年かに1人現れるそのような子には、それに期待し、とにかく志望校に合格してもらいました。


話がかなり逸れましたので、数学の話に戻って。
上の、変化の割合を求める a(p+q) の公式は、計算ミスをしなくて済むという点で、計算に自信のない人ほど活用してほしい公式です。

数学力をどのように判断するか、さまざまな観点があると思いますが、「思考力」「計算力」の2点だけで見ても、
思考力も計算力もある子。
思考力に乏しいが、計算力のある子。
思考力はあるが、計算力に乏しい子。
思考力も計算力も乏しい子。
の4つのタイプに分かれます。
それもそれぞれどの程度なのか、グラデーションのある話ではありますが。

思考力に乏しいが計算力のある子は、数学的思考の面白さに本人が気づくことさえできれば学力が飛躍します。
中1の段階では数学の成績は「3」で、言うことも何だかトンチンカンだけれど、計算ミスはほとんどない。
計算する様子を見ていると、地道でもっさりしたやり方ではなく、クールな計算方法を身につけている。
暗算するところと、しっかり書いていくところのメリハリがある。
学校で最初に学ぶ、地道でモタモタした計算過程をいつまでも踏んでいるようなところがなく、本人の理解により省略すべきところは省略し、書くべきところはしっかり書いている。
こういう子は、いずれ大バケする可能性があります。
問題を解く過程で対話を繰り返しながら、そのうちどうにかなると呑気に構えていると、予想通りに中3では「5」になった。
そんな子を、今まで何人も見てきました。
計算を正しくできるというのは、やはり数学的には何らかの達成を見せているのだと思います。
計算をする際に使っている論理を思考に生かせていないだけで、思考力がないわけではなかったのだ、ということかもしれません。

「クールな計算方法」を身につけているのが鍵です。
計算をこのように論理的にこなしているのに、問題を解く際になぜその思考力を使わない?
そのように感じる子は、いずれどこかの回線がつながって何とかなるだろうという予感がするのです。

反対に「地道でもっさりした計算」というのは、しかし、多くの子がやってしまう計算です。

例えば、25000×5000 といった計算。
これは、25×5を計算して(暗算もできるはずです)、それに0を6個つけたらいいですね。
小学校でも教えている計算の仕方です。
習ったときは、誰でもできます。
しかし、その単元が終わると、それをコロッと忘れて、以後ずっと、0の大行進的な筆算をしてしまう子がいます。
そして、桁がズレてしまい、誤答します。
そういう計算をしているのを発見する度に助言しますが、しばらく経つと、また同じ0の大行進を行ってしまう子は多いです。
つまりは、なぜそれで計算できるのか理解していないのだと思います。
そういう解き方があることを習えば、そのときだけそのように計算しても、根本を理解できていないのです。
数字の桁に関する感覚が脆弱なのかもしれません。
25000×5000
=25×5×1000×1000
=125000000
数字を上のように分解した上で、さらに交換法則・結合法則を利用して計算するのが、この計算方法の意味です。
やり方だけ覚えるのではなく、その意味がわかっている子は、以後、ずっとこの計算方法で計算します。
意味がわかっていない子は、やり方をすぐ忘れてしまい、このやり方を自分のものとすることができないのです。

また、例えば、312×205 といった計算。

  312
 ×205
 1560
624
63960

といった筆算をすれば良いのですが、

  312
 ×205
 1560
 000
624
63960

といった余計な1行を書かずにいられない子もいます。
これも、省略するよう小学校で教えられているのですが、それを省略できることをすぐに忘れ、型通りに計算してしまうのだと思います。

また、例えば、25000÷5000 といった計算。
割られる数と割る数とに、それぞれ同じ数をかけても、あるいは同じ数で割っても、商は同じです。
だから、
25000÷5000
=25÷5
=5
と暗算できます。
慣れてくれば、0がついたままの状態でも桁を読むことで暗算できます。
しかし、これも、0が3個ついたまま、もっさりした筆算をする子は多いです。
25000÷5000=25÷5 であることは、小数のわり算を行うためにも重要な考え方です。
例えば、2.5÷0.5 をなぜ小数点を移動して計算するのかは、上の考え方がもとになっています。
小数点の移動は、すなわち、割られる数と割る数とをそれぞれ10倍して、25÷5 として筆算しているのです。
しかし、そのことを理解せず、ただ筆算のやり方だけを覚えている子のほうが多いです。
計算は意味を失い、ただの作業手順となっています。

これは学校教育が悪いのではありません。
学校の授業でも、教科書でも、このことは強調されているのです。
ただ、本人が、やり方しか覚えない。
小学校でやり方しか覚えなかったため、中学生・高校生になって、論理的思考についていけなくなってしまうのです。
どれだけ意味を説明されても、それをまだるっこしいと感じて「やり方だけ教えて」「やり方だけ知りたい」となってしまう子が多いのです。
頭の回転が速いように見える子に、案外このタイプが多いので、苦慮するところです。
本人の頭の働かせ方の癖なのでしょう。
一方で、どんなに小さなことでも、意味を知りたいタイプの子もいます。
そして、意味を知っている子は、時間が経っても、25000÷5000 といった計算で同じ論理を利用できます。
算数・数学が統一された論理で動いていることを実感しています。
数理の根本がわかっているというのは、そういうことだと思います。
中学や高校の数学になって、何をして良くて、何をしたらダメなのか、自分で判断できなくなるのは、やり方だけ覚えてきたけれど意味を理解していなかったからなのです。

また、例えばこんな計算。
-27+18-33+26
中1の最初に学習する「正負の数」の計算です。
これも、同符号の計算をまとめてやれば楽であることを学校で指導されているはずです。
=-60+44
=-16
というように。
しかし、これを、
-27+18-33+26
=-9-33+26
=-42+26
=-16
と、順番通りに計算しなければ答えが出せない中学生もいます。
順番通りでなければ計算できないと思っているのか?
数字の前にある符号は、計算記号ではなく、その数のもつ正負の符号であることを、学習が終わると忘れてしまうのか?
つまり、その子にとって上の式は、小学校からお馴染みのたし算と引き算の式のままで、中学で新しく学習した、
(-27)+(+18)+(-33)+(+26)
と見ることができないのではないかと思うのです。
「正負の数」の学習の最初は、このように(  )がついています。
省略して書くことができるというだけで、(  )は常に存在すると思って計算して良いのです。
全てたし算ですから、交換法則も結合法則も利用できます。
そのことを、忘れてしまう。
あるいは、最初から理解していない。
だから、法則が使えることがわからない。
「え?ひき算って、順番変えたらダメなんじゃないの?」
という小学生の感覚に戻ってしまうのだと思います。

-27+18-33+26
=-9-33+26
=-42+26
=-16
という順番で正確に計算している子は、計算力はあるのではないか?
確かに「人間電卓」的な計算力はあると思います。
しかし、論理的思考力を感じさせるものではないのです。

交換法則も結合法則も分配法則も、桁移動の仕組みも、全ては小学校で学習しています。
大切なことは全て小学校で学んでいます。
しかし、大切なことを学んでいることに気づかない。
大切なことを、大切なことだと認識できず、記憶の中からあっさり消して、筆算のやり方や公式の丸暗記のみ行う子は、計算の過程にそれが表れます。
そうではないクールな計算方法を身につけている子は、数学的思考が可能な子、いずれ大バケする子、と感じるのです。

一方、思考力はあるが計算ミスの多い子というのも存在します。
計算のやり方がわからないわけではありません。
ただ、雑なのか、正確さを保てないのか、計算の正答率はかなり低い。
計算問題を正答できるかどうか五分五分ということもあります。
しかし、理解力や思考力があるので、座標平面と図形の問題、動点に関する問題、図形の証明問題、空間図形の求積の問題のような、数学嫌いな子が避けたがる問題も自力で解いていくことができます。
ただ、計算は合わないことが多いです。

なぜケアレスミスをそれほど繰り返すのか?
特定の計算でミスをしやすいのならそこを強化すれば良いのですが、多種多様なミスをその都度新たに繰り出してくるタイプの子が多いのも特徴です。
ある日は数字を書き間違い、ある日はひき算なのにうっかり足してしまい、ある日は無理な暗算をしてしまい、ある日は符号を書き忘れる・・・。
考えることに夢中で、手元がおろそかになっているのか?
式を書いている間に、他のことを考えているのではないか?
思考力はあるが、集中力が足りないのか?
さまざまな理由が考えられますが、受験を機に解消される子と、それでは解消されず高校生になってしまう子とがいます。

ケアレスミスをしやすい傾向は、残念ですが非常に直りにくいものです。
計算ドリルを何冊解いても、目立った改善は見られないことがあります。
あとは、ミスしやすい自分と折り合いをつけながら、それを含み込んで点数を読んでいく。
複雑な計算過程を踏まないよう、上の公式のように、ミスしなくて済む解き方を身につけていく。
そういうことで対応していけば良いのではないかと思います。
多少の改善はみられても根本的には直らない。
この計算力を前提としてやっていくしかない、と感じます。
本人が一番嫌な思いをしているのですから、自覚すれば直るというものではないのです。
まして、それを叱ったりしても、直りません。
誰にも苦手はあります。
その代わり、思考力を伸ばすだけ伸ばす。
基本問題で失点する分、テストの後半の応用問題で部分点を取る。
そういう得点の取り方を考えていくのが現実的ではないかと思います。
また、そうやってあまり思いつめないようにしていると、前よりは改善されていることも多いです。




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