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2019年10月03日

中3数学「2次方程式の利用」文章題の立式とその後の計算。

中3数学「2次方程式の利用」文章題の立式とその後の計算。

今回は中3に戻って、2次方程式の文章題を解いてみます。
計算問題なら大丈夫なんだけれど、文章題は苦手、という人、多いですよね。

問題 兄は弟より4歳年上で、兄の年齢の平方は、弟の年齢の平方の3倍より8小さい。兄と弟の年齢を求めよ。

もう幾度も書いてきましたが、方程式の文章題の答案の1行目は、何をxとしたかを書きます。
しかし、これを書かない子は多いです。
つい忘れてしまうようで、答案作成の習慣として定着しません。
何を文字で表したのか定義しなければ答案を読む人に伝わりません。
けれど、本人としては、そもそも x を使うように要求しているのは数学の先生なので、自分の関知するところではない、自分の責任ではないという意識があるのかもしれません。
自分は x なんか使いたいわけではない、使わされているだけだ、という気分なのでしょうか。
「そんなの書かなくて大体わかるじゃん」
という気持ちになってしまう底には、そういう意識があるのではないかと思うのです。

もっと単純に、小6で初めて x や y を使うことになったときは、そんなことは要求されなかった、中学になったら何でそんなにうるさいんだろう、という気持ちもあるのでしょうか。
小学生にそこまで要求しても無理だから要求されなかっただけなのですが。

xの定義は重要です。
式を見て、
「このxは何を表しているの?」
と尋ねても、即答できない場合がほとんどだからです。
自分でもわからないものを他人にはわかれと要求することはできません。

そういう、「答案を読む人に迷惑をかけるな」系の理由の他に、何をxとするかを明記することは本人にとっても利点が大きいのです。
文章題が苦手な中学生は、文章題を見た途端に小学生に戻ってしまう傾向があります。
どうやって答えを求めよう?
どういう式なら答えが出るだろう?
かけ算?
割り算?
そんなことをうっかりすると考え始めてしまいます。

「・・・何を x としますか?」
そう声をかけると、はっと目が覚めた様子で、まずその1行を書き、そうだった、これは方程式だったと気がついて、立式し始める子は多いです。
私がそのように声をかけなくても、自分で何を x とするかを考えるならば、文章題は自力で解けるようになります。
数学は、常に1行目の書き出しが一番難しい。
それさえ書きだせれば、次の段階に進めるのです。

さて、無事に1行目が書けたとして。

方程式の文章題の採点基準は、
①何を文字においたかを書いてあるか。
②方程式が正しいか。
③計算の結果が正しいか。
④変域について考察してあるか。
⑤最終解答が書いてあるか。
です。

つまり、立式が正しいことを確認した後は、すぐに計算の結果に目を移し、途中は読まない先生が多いのです。
③の計算の結果が正しくない場合のみ、その前に戻って、どの行まで計算が正しいかを確認し、そこまでを赤ペンで区切って部分点を決定というのが採点の普通の流れです。
どこを採点されているのか、そのメリハリを理解し、答案を書いていくと良いですね。

さて、問題に戻りましょう。
これは、兄と弟の年齢のどちらをxとしても構わないです。
ただ、兄の年齢をx歳とすると、弟の年齢は(x-4)歳と、負の符号が出てきますので、符号ミスが多い人は、ちょっと危険要素が加わることにはなります。
とりあえず、今回は、弟の年齢をx歳としてみましょう。
答案に、「弟の年齢をxとする」と書く人も多いですが、xは単位をつけて書きます。
年齢なら単位は「歳」に決まっているのでまだましですが、例えば速さに関する問題で、xの単位が「分」なのか「秒」なのかわからず、実は本人も混乱しているとなると、大変です。
「弟の年齢をx歳とする」と書くのが正しい書き方です。

弟の年齢をx歳とする。

さて、ここから立式です。
よくあるのが、こんなミスです。

(x+4)2-8=3x2

・・・うん?
もう一度問題を読み直しましょう。
「兄は弟より4歳年上で、兄の年齢の平方は、弟の年齢の平方の3倍より8小さい」

上のような間違った式を書いてしまうのは、小学生時代に文章題に苦しめられ過ぎた後遺症なのかもしれません。
「8小さい」をどう処理するか、頭の中であれこれ考えた結果、左辺にくっつけてしまうのです。
小学校の文章題は、答えを求める式を立てますから、加えたと言われたら引かなければならず、かけたと言われたら割らねばなりません。
とにかく、裏を裏を考えないと、正しい式が立ちません。
その癖が中学生になっても抜けない人は多いです。
方程式は、裏を考える必要はありません。
問題文に書いてある通りに書いて行けば良いのです。
「兄の年齢の平方」は「弟の年齢の平方の3倍より8小さい」。
この前半のカギかっこが、左辺。
後半のカギかっこが、右辺。
書いてある通りに書けば、式になります。
兄の年齢の平方は、(x+4)2。
弟の年齢の平方の3倍より8小さい数は、3x2-8。
その2つが等しいのですから、
(x+4)2=3x2-8
これが正しい立式です。
式が表しているのは、兄の年齢の平方です。
そこから8を引いたりしては、左辺だけが一方的に小さくなっていきます。

考え過ぎたあげく、
(x+4)2+8=3x2
という式を立てる人もいます。
この式は、間違ってはいません。
ただ、本人の苦闘が如実に表れているわりに、「あー、はいはい。別に間違ってはいませんよ」程度の評価しか受けません。
せっかくの方程式の旨味をなぜ生かさない?
書いてある通りに式を立てるだけでいいのに。
採点官の感想はその程度です。
余計なことを考えずに、その方程式が何を表すのかを意識しながら、文章の通りに式を立てるのが、立式のコツです。

さて、立式したら、計算です。
(x+4)2=3x2-8
右辺にもx2の項がありますので、これは一度左辺を展開すると良いですね。

x2+8x+16=3x2-8
2x2-8x+8=0

・・・うん?
何か間違っていますね。
今度は何をしたの?
単純に移項すれば、
-2x2+8x+24=0 
となります。
そうなると、x2の項に負の符号がついてしまい、それが嫌なのは、わかります。
だから、移項しつつ、符号を転換することもしたかったようです。
そして、定数項でしくじった・・・。

そういうことをやりたい場合、書いているのは左辺でも、意識は全ての項を右辺に移項するイメージでやっていくと、比較的ミスなく書いていけます。
つまり、本当は、
0=2x2-8x-24
と移項しているのですが、「0=」は書かず、いきなり右辺を書いていき、最後に「=0」を書き加えるイメージです。

2x2-8x-24=0

しかし、別にそんな無理をせず、
-2x2+8x+24=0 
x2-4x-12=0
としていくのでも、手間は変わりません。
結局、式全体を割って、x2の係数を1にしますから。

ちょっとした手間を惜しんで、暗算で済ませて、符号ミスや計算ミスのリスクを抱え込む。
暗算に時間がかかる上に、実は手間もそんなに違わない。
そういうことが、方程式の計算には多いです。
計算は正確であることが大切です。
というより、正確であること以外は何も求められていません。

さて、
x2-4x-12=0
(x-6)(x+2)=0
x=6 , -2

ここで、xの変域(高校生になると定義域と呼びます)を考えます。
人間の年齢なので、-2歳などありえません。
そこで、「x≧0 だから」 あるいは、「xは正の整数なので」といった変域を考察する1行が必要となります。
これが上に書いた、
④変域について考察してあるか。
という採点基準です。

x=6 , -2
xは正の整数だから、
x=6
兄10歳、弟6歳

これで答案は終了です。
さて、もう1問。


問題 原価500円の品物に、原価のx割の利益を見込んで定価をつけたが、売れないので定価のx割引で売ったところ、45円の損失となった。xの値を求めよ。

こうした売買損益の問題が苦手な子は、本当に多いです。
そもそも割合の問題が苦手な上に、「原価」「定価」「売値」「利益を見込む」といった商業用語が出てくるので、ハードルが高いのでしょう。
原価というのは、仕入れ値。
お店の人が仕入れた値段です。
お店の人は、その原価のまま商品を売ったら、1円ももうかりません。
それでは商売になりません。
だから、原価に利益を見込んだ定価をつけます。
まだその利益は確定ではないので、「利益をつける」という言い方はできません。
これだけの利益を得る予定である、という意味で、「利益を見込む」という言い方をします。

上の問題は、まずは定価の表し方を考えてみましょう。
そう呼びかけると、こんな答えが返ってくることがあります。

500x

・・・え?
500円にx割の利益を見込んだ定価は、500x?
この答え、数学の成績が「4」の子でも出てくる答えです。

「・・・1割って、分数ではどう表しますか?」
「ええと・・・」
これが、まず出てこないのです。
「割合」の学習は、小5の3学期に行う場合が多いですが、そのときはまだ「分数のかけ算・わり算」は学習していないため、割合の数値は小数を用います。
小6になって、分数のかけ算・わり算を学習した直後や「比」を学習する直前に、改めて「割合と分数」を学習するのですが、そこで学びそこねてしまう子は多いです。
自分は小数を使うからいいや、と思ってしまうのでしょうか。
また、中1では、「文字式」の学習の際に「a円の1割」といったことを文字式にする練習をします。
しかし、それもよく理解できないまま、そんなのは多くの問題の中の1問、結局最後までできなかったけれど、まあいいか、と通り過ぎていきます。
中1の「1次方程式」、中2の「連立方程式」で、文章題を学ぶ度に割合の問題は出てきますが、それもまた、そういうのは自分は難しいからよくわからないけど、まあいいや、と通り過ぎていきます。
繰り返し繰り返し、幾度学習しても、割合が定着しない子は多いです。

「1割は、1/10。わかりますか?」
「ああ、そうだ。1/10」
「じゃあ、x割は、どう表されるでしょう?」
「5/10」
「・・・え?」
・・・どこから湧いてきたの、その5/10は?
500円からきたの?
やはり、本当に混乱しているのだなあと、驚くことが多いです。

500円のx割は、500×x/10。
まず、ここの理解までが大変で、理解できないからとにかくそこは暗記して済ます・・・という子も多いところです。
方程式の文章題を学ぶ度に丸暗記でやり過ごそうとし、そしてすぐ忘れてしまうのでしょう。
もとにする量×割合=くらべる量
この公式は、「比べる量÷もとにする量=割合」という基本の公式を使いやすいように変形しただけの式なので、確かに暗記するしかありません。
本来、感覚的に実感できる種類のものではありません。
しかし、私は、この式に実感があります。
多くの大人もそうだと思います。
それは、子どもの頃から数限りなく使用し、それで正解が出ることがわかっているので、実感と結びついたのだと思います。
500円を1/10にしたいときは、500×1/10なのだ。
それは、500円を3倍したいときに、500×3をするのと同じだ。
少しも間違っていない。
沢山使っていくうちに実感を伴ってくるものなのですが、間違った式ばかり立てている子は、その実感が育たないのです。
この公式が脳の奥まで染みていれば何も問題がないところですが、全く納得しないまま、ただやり過ごして中3まできてしまう子は、相当数いると思います。

小学生のうちに、何とか割合の基本は身につけてほしい。
そう思っても、なかなかに厄介なのが割合という単元です。
うちの塾でも、ことあるごとにふりかえって復習していますが、その都度新鮮に間違えて、また覚え直して、の繰り返しの子は多いです。
「300円の1/3はいくらですか」
といった問題で、
300÷1/3 
という式を立てることをどうしてもやめられない小学生が多いのです。
300を1/3にするんだ。
だったら、わり算だな。
という感覚が真っ先にきてしまうのだろうと想像されます。
彼らの中では、300÷1/3と、300÷3 は、同じ意味なのだと思います。
違いが意識できないのだろうと思うのです。
だから、300÷3 をする気持ちで、300÷1/3 をしてしまうのでしょう。


しかも、上の問題は、500円のx割ではなく、原価500円にx割の利益を見込んだのです。
500(1+x/10)円が、定価となります。
しかし、ここで突然現れた「1」の意味が理解できない子が多いです。
もともと500円はある。
それは、全体1。
それにさらに、x/10の利益を見込む。
だから、定価は、500円の(1+x/10)倍になる。
このことが、実感としてなるほどその通りだと理解できれば、以後、このタイプの問題が幾度出てきても何も困ることはありません。
しかし、全くわからないまま解き方を暗記しては忘れ、間違えては混乱し、どっちが正しかったからわからなくなってはまた混乱し、を繰り返し、中学生になり高校生になってしまう人は多いです。

1つのわかりやすい考え方としては、もともと500円の原価はあり、それに利益を見込んで付け加えるのだから、
500+500×x/10 
という式なら、ギリギリわかる、という子は多いです。
それを500でくくると、
500(1+x/10) になりますよ、と説明すると、
「本当だ!初めて意味がわかった!」
と感動します。
しかし、その感覚のまま、その続きを立式すると、
500+500×x/10-500×x/10
という間違った式を導きやすいのです。
意味が理解できたら、必ず、500(1+x/10) と(  )でくくっておきなさいと厳命しておかないと危険です。
本当は、最初から 500(1+x/10) の意味を当たり前に理解し、500+500×x/10 という式を介さずに式を立てられるようであってほしい。

それには、線分図です。

線分図を描いて、全体を①として、そこにx割、すなわちx/10をたして、・・・という解説が意味をなし、理解してもらえると、私は心底安堵します。
もう大丈夫。
この子は、売買損益の文章題をマスターした、大丈夫だ、と感じます。
しかし、中学受験をした子以外は、線分図の見方をほぼ知りません。
中学受験生だって、線分図の見方を初めから理解できる子は少ないです。
4年生の頃から毎週のように見せられ、それを描けと要求され、よくわからないまま物真似のように図を描き続け、反復して反復して、ようやく、6年生になった頃に違和感がなくなり、うっすらとその意味がわかってくる、という子も多いのです。
数量を線分の長さで表すという概念の理解は、子どもには一大事なのだと思います。
まして、その線分が、実数と割合と二重の意味を持っているという概念の理解は、さらに困難を極めます。
わかりやすく目に見える形にしたつもりの図が、子どもに負担を与えるだけで、意味をなさないのです。
線分図を見ても、何1つ理解できない子は多いです。

そんな中で、何の偶然なのか、突然ふっと理解できる子がいます。
頭の中も清明な良く晴れた秋の日に、突然、それはやってくるかもしれません。
ユ・リイカ!
我、発見せり!
センセイが線分図とかいう妙な図で何か繰り返し力説していたことの意味が、今わかった!

そんな晴れ晴れとした日は、長い格闘の時間があってこそ訪れます。
諦めてはいけない。
焦ってもいけない。
割合の学習は、繰り返し繰り返し根気よく続けていくしかないと思っています。

上の問題に戻ります。
この問題、さらに続きがあります。
その定価を、今度はx割引きするのです。
したがって、売値は、
500(1+x/10)(1-x/10)

1+x/10 が理解できなかったら、1-x/10 が理解できるわけがありません。
この文章題は、ハードルが高過ぎる。
というより、ほぼ障害物競走に近い・・・。
割合が理解できない子を見分け選別するために存在している文章題なのか?
それほどに、割合が苦手な子には立式が困難なのがこの文章題です。

500(1+x/10)(1-x/10)
それでも何とかここまで理解したとして。
この売値で、45円の損失があった。
原価500円の品物を500円で売ったら、損失0円。
では、45円の損失があったということは、売値は、500-45(円)だったということでしょう。
したがって、式は、
500(1+x/10)(1-x/10)=500-45
となります。
この式を自力で立てられる中3は、本当に凄いのですよ。
ヽ(^。^)ノ

ともかく、立式はできたとして。
しかし、その後の計算も困難を極める子が多いのがこの問題です。

500(1+x/10)(1-x/10)=455

これをどう解くか?
単なる計算問題と異なり、文章題で立てた式は、計算しにくいことが多いです。
何も指示せず、好きに解いてもらうと、大半の中学生がこの式をグチャグチャにしてしまいます。

5000(10+x)(10-x)=4550

・・・うん?
何をしたの?

(500+50x)(500-50x)=455

・・・うん?
大丈夫?

(1+x/10)(1-x/10)=455/500
「センセイ、この先どうするの?全部分数になっちゃって、計算できない」
「・・・うん、そうですね」
( 一一)

500(1+x/10)(1-x/10)
というのは、
500×(1+x/10)×(1-x/10) という意味です。
下手をすると、そういう意味だということすら忘れて、ただ手順だけ覚えて計算している中学生もいます。
この式、左辺全体がかけ算の大きな1つのまとまりです。
かけ算のまとまりのところは、1箇所を10で割り、代わりに他の箇所を10倍しても、計算の結果は変わりません。
それは、小学校の算数で学習していることです。
50×0.2=5×2=10
といった数理の仕組みは、小学4年生で学習します。
こうした計算も、その単元のときだけわかったような顔をするが、以後、全く活用しない小学生が多いです。
小学校の算数は、数理の根本が詰まっています。
「小学校のこの単元は苦手だったけど、まあ中学の数学とは関係なくない?」
とやり過ごして良い単元は1つもありません。
些末なことに見えることほど、後になって重大事となります。

これを活用すれば、上の式は極めて簡単になります。
500(1+x/10)(1-x/10)=455
5(10+x)(10-x)=455
全体を10倍する、100倍するといったことは、この式には必要ないのです。

ここで慌てて(  )を開いてしまう人もいますが、得策ではありません。
まず、両辺を5で割りましょう。
(10+x)(10-x)=91
ここで展開します。
乗法公式が使えますね。
100-x2=91
-x2=-9
x2=9
x=±3

ここで、xの変域について考察します。
-3割の利益を見込む、といったことはありえません。
それでは、最初から3割引きしていることになります。
だから、x>0です。
x>0 より x=3
この問題は、問題文の中にxがあり、その値を求めよと言われましたので、これで最終解答です。
答を書く前に問題文を見直すことが必要ですが、それをしない子も多く、「3割」などと答えて、つまらない減点をされてしまいます。

さまざまな困難を乗り越えて、文章題をパーフェクトに解く快感。
そういうものを味わい、どうか文章題を得意になってください。





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