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2019年05月30日

高校数A n進法 その3。分数の処理。

高校数A n進法 その3。分数の処理。

今回が数A最後の内容です。
内容は、「分数の小数表示と記数法」。
10進法の分数をn進法の小数に直す問題を解きましょう。

例題 1/4を5進法の小数で表せ。

これは、10進法の小数をn進法の小数に直すときと、基本の考え方は同じです。
まず、
1/4=a/5+b/5の2乗+c/5の3乗+・・・・① とおきます。
①×5をすると、
5/4=a+b/5+c/5の2乗+d/5の3乗+・・・
両辺の整数部分を比較して、
a=1とわかります。
次に両辺から1を引いて、
1/4=b/5+c/5の2乗+d/5の3乗+・・・② とおきます。
②×5をすると、
5/4=b+c/5+d/5の2乗+・・・・
よって、b=1。
以下同様に、c=d=・・・・・=1とわかります。
したがって、1/4=0.1111・・・・・です。

分数や小数とn進法は、さすがにそこまで復習していないという人もいて、センター試験あるいはセンター模試でそれが出てしまうと、もう完全にアウトとなってしまう人が多くいました。
解き方を知っているか知らないかだけの問題で白紙答案になってしまうのは勿体ないので、解き方をいつでも復元できるように、なぜそれで解けるのか、その理屈を理解しておくことをお薦めします。
手順だけ覚えるのは、忘れるのも速いです。
理屈を理解していれば、復元可能です。


さて、ここで、n進法の応用問題を少し。

問題 150台が駐車可能な駐車場がある。駐車位置は1から順に番号が付けられているが、4という数は使われていない。駐車位置の番号の中で最大の数は何番か。

例えば0と1しか使わないのなら2進法だとわかるけれど、逆に、4だけは使わないというのは、どう解いたら良いのかわからない・・・。
そういう人もいるかもしれません。
もっと頭を柔らかく。
4だけは使わないのですから、0、1、2、3、5、6、7、8、9の数字を使う。
つまり、これは9進法なのだとわかります。
ただし、普通の9進法は、0から8までの数字を使うのですが、これは4を使わないが9を使います。
だから、計算した後に数字を変換する必要があります。

まず、150を普通の9進法で表すと、
150=1×92+7×9+6
すなわち、176(9) となります。

4を使っていないから、このままでいいでしょうか?
いいえ、そういうわけにはいきません。
9の2乗の位の数である1は、そのままでいいでしょう。
9の2乗のまとまりが1組あるということは、4という数字を使っても使わなくても変わらずに1です。
しかし、9の1乗の位の7は、普通の9進法での7です。
9のまとまりが7組あるということです。
その7組に、4を使わずに番号をつけるならば、1組目、2組目、3組目、5組目、6組目、7組目、8組目。
つまり、これは7ではなく、8と表さなければなりません。
最後に、一の位の6も、普通の9進法で、1が6個あるということです。
それに番号をつけるならは、1、2、3、5、6、7。
つまり、これも6ではなく7と表さなければなりません。
よって、この駐車場の最大の番号は、187となります。

さて、数ⅠAの学習がこれでひと通り終わりました。
最初のほうで学習したことを忘れてしまっていると、数Ⅱの学習は困難を極めます。
数Ⅱの学習を進めながらも、常に数ⅠAを復習すると良いと思います。
1度では理解できなかったことも、2度目なら、案外すんなりと理解できることがあります。
1度目は覚えきれなかった公式も2度目なら見慣れて、頭にすっと入ってきます。
数学の学習は、諦めなければ必ず前に進むことができます。
頑張りましょう。
ヽ(^。^)ノ





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