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2019年05月20日

高校数A n進法 その2。小数の処理。

高校数A n進法 その2。小数の処理。

今回も「n進法」の続きです。
2進法は、「2の0乗の位」「2の1乗の位」「2の2乗の位」というように、1桁上がるごとに桁の2の指数が上がっていくのだということを前回確認しました。
では、小数はどのように扱われるのでしょうか?

まず10進法で考えるのならば、小数第1位は「10分の1の位」、小数第2位は「100分の1の位」、小数第3位は「1000分の1の位」です。
それは、「10分の1の位」「10の2乗分の1の位」「10の3乗分の1の位」と書き表すこともできます。
1つ下の位から見て、1つ上の位はそれを10倍した数の桁、という関係が成立しているのが10進法です。

2進法も同じように考えます。
小数第1位は、「2分の1の位」、小数第2位は「2の2乗分の1の位」、小数第3位は「2の3乗分の位」です。
そうすることで、1つ下の桁から見て1つ上の桁の数は2倍の関係が成立しています。
ちなみに、2分の1は、指数では「2の-1乗」、2の2乗分の1は、指数では「2の-2乗」と表します。

ところで、「2の2乗」を「にのじじょう」と読む人は中高生ではかなり減ってきましたが、まだ一応存在します。
「2の-2乗」を「にのマイナスじじょう」と読む人はさすがに減っています。
高校の数学の先生は「にじょう」と正しく読む人が大半であることも関係しているかもしれません。

「2乗」のときだけ「じじょう」と読むのは、本来、不自然なことです。
数字は「いち、に、さん」と読みます。
「いち、じ、さん」ではありません。
「2乗」だけ「じじょう」と特別扱いの読み方をすることには理由がありません。

しかし、自分が信じてきたことを否定されると強い拒絶反応を示す人もいます。
「じじょう」は「自乗」という意味なんだ!
と言う人がいます。
「2乗」だけそのような特別扱いをする理由はないのですが。

「にじょう」なんて読み方はまぬけっぽい、と言う人もいます。
しかし、そういう主観は、数学とは関係ありません。

ただ、読み方なんか究極どうでも良いので、生徒が「じじょう」と読むのを訂正しないのですが、私が「にじょう」と読むのを生徒が「このセンセイ、読み方を間違えている」と感じているのではないかと考えてしまうことはあります。
こういうことは、間違っていてもそれを信じている人のほうが強いのです。

おっと話が逸れました。
マイナスの指数の話でした。
2分の1は、「2の-1乗」、2の2乗分の1は「2の-2乗」、2の3乗分の1は、「2の-3乗」。
指数はこのように表記されます。
これは、n進法の桁の仕組みと整合しています。
指数がこのように負の数に拡張されることは、n進法を理解していると容易に納得できることです。
指数の拡張は、詳しくは数Ⅱの「指数関数」で学習します。


では、n進法に戻って、実際に問題を問いてみましょう。

問題 10進数0.375を6進法で表せ。

6進法の小数第1位は、6分の1の位。
6進法の小数第2位は、6の2乗分の1の位。
ですから、
0.375=a/6+b/62+c/63+・・・・
と表すことができます。
この両辺を6倍すると、
2.25=a+b/6+c/62+d/63+・・・・・

b/6以下は、全て分母のほうが分子より大きい真分数です。
b/6以下の総和は、1より大きくなることはありせん。
そこで、両辺を比較すると、
2=aであることがわかります。

両辺から2=aを引いて、
0.25=b/6+c/62+d/63+・・・・

この両辺を6倍すると、
1.5=b+c/6+d/62+e/63・・・・
よって、1=bであることがわかります。

さらに、両辺から1=bを引いて、
0.5=c/6+d/62+e/63+・・・・
この両辺を6倍すると、
3=c+d/6+e/62・・・・・
3=cであり、d以降は0であることがわかります。

よって、10進数0.375は、6進法では、2.13です。

上のように、6倍して整数になったものを次の桁の数字と確定していくと、それを利用した筆算が可能です。
整数になったものを取り除きながら、次々と×6をしていく方法です。
数学Aの参考書などに筆算のやり方が載っていますので、参考にしてください。
そして、やり方だけ覚えるのではなく、なぜそれで筆算できるのか、意味を理解してください。
意味を伴っていない筆算は、すぐに忘れます。
n進法の勉強ばかりそんなに毎日していられませんから、突然テストに出て、全く解けないという事態に至ります。
意味を理解していれば、やり方の復元が可能です。



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