たまりば

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2018年09月26日

10月6日(土)、大人のための数学教室を開きます。


9月22日(土)、大人のための数学教室を開きました。
高校数Ⅱ「図形と方程式」の学習の続きです。
前回学習した、直線の方程式に関する公式は次のものでした。

傾きがmで、点(x1,y1)を通る直線の方程式は、
y-y1=m(x-x1)

また、2点(x1,y1)、(x2,y2)を通る直線の方程式は、
y-y1=y2-y1/x2-x1 (x-x1)

平行な2直線は、傾きが等しい。
垂直な2直線は、傾きの積が-1。

今回は、この続きです。

問題 直線2x+y+2=0 に平行で、点(1,2)を通る直線の式を求めよ。

中学の解き方なら、まず与えられた式を、y=・・・・の形に直して傾きを求め、その上で、点(1,2)を代入して解くと思います。
高校では、これを瞬時に解く公式があります。

点(x1,y1)を通り、直線 ax+by+c=0 に平行な直線の方程式は、
a(x-x1)+b(y-y1)=0 です。

まずは、ax+by+c=0 という式の形について。
中学時代は、y=・・・・の形に式を直さないとダメと言われましたが、高校では、右辺が0になる式を用いることがあります。
a、b、cは具体的な数字が入ります。
上の公式は、それをy=・・・に変形してみることで証明できます。
ax+by+c=0
by=-ax-c
y=-a/b・x-c/b
よって、この直線の傾きは、-a/b です。
前回学習した公式を利用すると、傾きが-a/bで、点(x1,y1)を通る直線は、
y-y1=-a/b(x-x1)
両辺をb倍して、
b(y-y1)=-a(x-x1)
左辺に移項して、
a(x-x1)+b(y-y1)=0
これが、上の公式です。

この公式を用いると、上の問題は瞬時に解けます。
直線2x+y+2=0に平行で、点(1,2)を通る直線だから、
2(x-1)+(y-2)=0
このまま答えとするのではなく、整理します。
2x-2+y-2=0
2x+y-4=0
これが上の問題の解答です。

この公式とセットで覚えると得なのは、
直線ax+by+c=0に垂直で、点(x1,y1)を通る直線は、
b(x-x1)-a(y-y1)=0

この公式も、上のような変形の仕方で導くことができます。
こうした公式は覚えにくいので、つい暗記を後回しにしたり、別にこんな公式覚えなくても、中学のときの解き方でも解けるし・・・・と思いがちなのですが、困るのは、この先、参考書の例題解説も問題集の解説も、この公式を当然のように使い、特に説明も加えないことです。
解説を読んでもわからないのは、こうした公式が普通に使われているからです。
何で急にこんな式が立っているのか、わからない。
そうならないために、公式は覚えましょう。

もう1つのメリットは、問題を解く時間の短縮。
直線の式1本求めるのに、中学の解き方では、2分~3分かかります。
この公式を使えば、30秒もかからないでしょう。
センター試験の数学は、時間との闘いです。
60分で解くにはちょっと多いなと感じる問題量です。
中学の解き方でもたもた解いている時間はないと思います。


問題 直線ax-6y-5=0が直線2x-3y+6=0に平行であるとき、定数aの値を求めよ。

これも、中学の解き方でも解ける問題です。
それぞれの直線を、y=・・・・の形に変形し、傾きを比較すれば、定数aを求めることができるでしょう。

これにも、公式があります。

直線a1x+b1y+c1=0、a2x+b2y+c2=0 が、
平行なとき、a1b2-a2b1=0
垂直なとき、a1a2+b1b2=0

これも、証明のやり方は上の公式と同じで、y=・・・の形に変形し、傾きが等しいことや、傾きの積が-1であることから等式を立てて、それを変形して導いている公式です。

上の問題にこの公式を用いると、
a・(-3)-2(-6)=0
-3a+12=0
-3a=-12
a=4

与式をいちいちy=・・・の形に変形せずにすぐに式を立てることができますね。
覚える余力のある人は、覚えておくと良い公式です。


問題 直線 y=2x+1に関して、点A(3,2)と対称な点Bの座標を求めよ。

さて、少し応用問題に入ってきました。
上の画像は、この問題を解いたものです。
解き方がすぐにピンときたなら必要ありませんが、わからないときは、座標平面にグラフを描いて考えるのが得策です。
y=2x+1 のグラフを描きます。
これが対象の軸となります。
点A(3,2)を打ち込みます。
この点Aと対称な点Bを大体のイメージで良いですから、座標平面上に打ち込んでみます。

線対称というのは、どういう性質があったでしょうか?
「線対称・点対称」は、小学6年生で学習する内容です。
簡単ですから、大抵の子は理解できます。
簡単すぎるので、「だから何なの?」という疑問すら抱く単元です。
線対称のとき、対応する点と点とを結ぶ線分は、対称の軸と垂直に交わる。
線対称のとき、対応する点と対称の軸との距離は等しい。
このことを利用し、
「図の中で、垂直に交わっている直線はどれとどれですか?」
「図の中で長さの等しい線分はどれとどれですか?」
といった問題が出題されます。
小学生のときも、中学1年になってからも、まるでドリルのように繰り返し解いたこの問題。
しかし、そこで終わってしまうので、「だから何なの?当たり前じゃん」で終わった問題。
いよいよ、この知識が結実します。

点Bの座標を(p,q)とします。
直線ABの傾きは、q-2/p-3 と表されます。
直線の傾きは、変化の割合と等しいですから、yの増加量/xの増加量 ですね。
この直線ABは、対称の軸である、y=2x+1 と垂直に交わりますから、傾きの積は-1です。
よって、2・q-2/p-3=-1
これを変形して、pとqの関係を表す式を1本導いておきましょう。
両辺に p-3 をかけて、
2(q-2)=-(p-3)
2q-4=-p+3
p+2q=7 ・・・①

pとqの値を求めるには、もう1本、pとqに関する式があれば良いですね。
線対称の性質には、もう1つ、対称の点から対称の軸までの距離は等しいというものがありました。
言い換えれば、2点の中点は対称の軸上にあります。
点A(3,2)と点B(p,q)の中点の座標は、(p+3 /2,q+2 /2)。
これは対称の軸上の点ですから、このx座標とy座標は、y=2x+1 の関係を満たします。
よって、
q+2 / 2=2(p+3 / 2)+1
これを整理すると、
q+2 / 2=p+3+1
q+2=2p+8
-2p+q=6 ・・・②

この①、②を連立して解くと、
p=-1、q=4
よって点Bの座標は(-1,4) です。


さて、次回の数学教室のお知らせです。

◎日時  10月6日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「図形と方程式」を続けます。p.48例題14の解説から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかLINEに、ご予約をお願いいたします。










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