たまりば

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2018年09月06日

チェバの定理。


数A「図形の性質」の学習、今回は、チェバの定理です。
まずは、左の図が基本です。
△ABCの内部に点Oをとります。
各頂点から対辺に向けて、点Oを通る直線を引き、対辺との交点をE、F、Dとします。
左図の線分AE、BF、CDがそれです。
すなわち、点D、E、Fは、それぞれ辺AB、BC、CAを内分する点です。
このとき、
AD/DB ・ BE/EC ・ CF/FA = 1
これがチェバの定理です。

証明は簡単で、三角形の面積の比と線分の比を利用します。
興味のある方は、ネットで検索するとすぐに証明が出てきます。

高校レベルの定理にありがちですが、証明を理解して納得したところで、定理は覚えられないことが多いです。
三角形の面積の公式など、公式が表しているものが求め方の意味そのものだった頃と比べ、公式と証明との間に乖離が生じるのが高校数学です。
証明は証明として納得した後は、定理は定理で暗記すると良いでしょう。
いえ、数学センス、図形センスが高度に発達した人の場合、このレベルでもなお、証明が理解できれば、公式は証明そのもの、意味そのものじゃん、暗記とかそういうことじゃないという感覚を抱きます。
そういう人は「数学は暗記じゃない」と言います。
一応、その人の言うことも聞いて、証明を理解した後、何も見ないで定理を復元できるか自分で試してみても良いですが、あ、ちょっと無理だなと感じたら、丸暗記したほうが良いと思います。

「チェバの定理」の場合、暗記は簡単。
まず、土台は△ABCであることを強く意識します。
点A、B、Cが頂点です。
それ以外の点は、交点とします。
「分点」と呼ぶ人もいますが、同じことです。
唱える呪文は、
「頂点・交点・頂点・交点・頂点・交点・頂点」。
始まりは必ず頂点です。
そこから直接いける交点までが最初の分数の分子。
その交点から次の頂点までが、その分母。
その頂点から次の交点までが、次の分子。
その交点から次の頂点までが、その分母。
そうやって、頂点から交点へ、交点から頂点へと一周していくのが、チェバの定理です。
上の左図では、頂点Aから始めていますが、これは頂点Bから始めても頂点Cから始めても同じことです。
「AD、DB、・・・」と文字で暗記するのは混乱のもと。
ざっくりと把握し、自由に活用できるようにしておきましょう。

次に上の右の図。
点Oが△ABCの外側にある場合です。
同じように、各頂点から点Oを通る直線を引き、対辺あるいは対辺の延長との交点をE、F、Dとします。
上の図のように、2つの交点は、外分点、1つは内分点となります。
この場合も、チェバの定理は成り立ちます。
上の右図にオレンジ色で書き込んである通り、
「頂点・交点・頂点・交点・頂点・交点・頂点」
の順番でひと筆書きでなぞり、最初の頂点に戻れば終了です。
あくまで△ABCが土台。
A、B、Cが頂点。
外分点は交点です。
それを強く意識すれば、間違えずに最初の頂点に戻ってこられます。
これも、出発は点Aとは限らず、どの頂点から開始してもその頂点に戻ってこられるよう練習しておくと良いと思います。

あとは代入とその後の計算の問題です。
例えば、図のAD:DBの値を求める問題で、他の線分の比は既にわかっているとして。
AD/DB ・ 1/2 ・ 4/5=1
という式が立ったその後。
2AD/5DB=1
というところまで整理できて、その先で迷ってしまう人がいます。
このとき、AD:DB=5:2 です。

これもまた、なかなか納得できない人もいるようで、つまずきポイントです。
小学校の頃から分数や比が苦手だったことが高校まで尾を引いている子は特に。
本当に、小学校の算数は諦めずに理解しておいてください。



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