たまりば

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2018年08月25日

9月8日(土)、大人のための数学教室を開きます。


8月25日(土)の大人ための数学教室は、延期となりました。
次回は、9月8日(土)の予定です。

さて、今回も授業は進まなかったので、数学こぼれ話などを。
中学の数学には、私立中学や進学塾でしか扱わない発展的な公式や解法テクニックがあります。
高校もそうで、普通の高校では授業では扱わない、あるいは扱っても「こんなのも一応あります」と紹介される程度で定期テストには出ない発展的な公式があります。
でも、理系で大学受験をするのなら、覚えておいたほうがいいのです。
今回は、そんな公式の話。
例えば、こんな問題。

問題 次の式を因数分解せよ。
x3+y3-6xy+8

うん?
単純そうなのに、何か解きにくいですね?

x3+y3-6xy+8
=(x+y)(x2-xy+y2)-6xy+8

・・・・あれ?この先、進まない。
では、xで括ってみましょうか。

x3+y3-6xy+8
=x(x2-6y)+y3+8
=x(x2-6y)+(y+2)(y2-2y+4)

・・・・あれ?やっぱり共通因数が見つからない。
うーん?

実は、これ、発展的な公式を利用すれば、1行で因数分解は完成するのです。


因数分解の公式は、中学3年生で学習するものは、以下の通りです。

a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
a2-b2=(a+b)(a-b)

高校1年、つまり数Ⅰで新しく学習するものは、

acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)

いわゆる「たすきがけ」の公式です。
さらに、本当は数Ⅱの学習内容とされているけれど、一緒に学習してしまおうということで、多くの高校は、以下の公式も高校1年で学習します。

x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)
x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)
x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3
x3-3x2y+3xy2-y3=(x-y)3

しかし、因数分解の公式は、他にもあります。
発展的な重要公式として有名なのは、以下の2つ。

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2
a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

上の問題に戻りましょう。
x3+y3-6xy+8

これは、公式の、
a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
を利用できます。
公式のaが上の問題でxにあたります。
bがy。
cが2。
だから、-3abcは、-6xy。
この問題は公式を利用すれば簡単に因数分解できる問題なのでした。

x3+y3-6xy+8
=(x+y+2)(x2+y2+4-xy-2y-2x)

できたー。ヽ(^。^)ノ

とは言え、こんなふうに、発展的な公式を知っているかどうかだけで明暗が定まる問題は、個人的には好みではありません。
これでは単なる暗記物で、数学的思考なんか関係ないですもんね。

では、こんな問題はどうでしょうか?

問題 次の式を因数分解せよ。
(x-y)3+(z-y)3-(x-2y+z)3

これも、先ほど使ったのと同じ公式を利用できそうです。
3番目の(  )の前のマイナスは、その(  )自体に-の符号がついているのだと思えば良いです。
2乗ならプラスになってしまいますが、3乗なら、マイナスが活きてきます。
すなわち、
a3+b3-c3=(a+b-c)(a2+b2+c2-ab+bc+ca)-3abc
という符号処理をほどこせば良いでしょう。

とはいえ、この公式だと、最後に-3abcの部分がはみ出すので、因数分解は完成しないのでは?
本当にこれを利用して良いのかな?
ちょっと不安になってしまいます。
特に後半の長い(   )の部分を書いていくのは大変そうで、これで解けないのならやりたくない作業です。
しかし、ここでためらい、やらずに済ませてしまうと、この問題は解けません。
無駄に思えても思考錯誤は必要。
他に策があるわけでもないのなら、思いついた策を試してみることが大切。
やってみましょう。

(x-y)3+(z-y)3-(x-2y+z)3
=(x-y+z-y-x+2y-z)(・・・・・・・

ここまで書いて、気づくのです。
最初の( )は、計算すると0になる!(''_'')
0に何をかけても0なので、公式の( )(     )の部分は全部0になって消えます。
だから、-3abcの部分だけが残るのです。

=-3(x-y)(z-y)(x-2y+z)
=3(x-y)(y-z)(x-2y+z)

できたっ!ヽ(^。^)ノ
こうなると、単に公式を知っているかどうかだけではなく、その公式を利用するかどうか決断を迫られるところにちょっとワクワクしますし、ごちゃごちゃした部分が一気に消える爽快感もあって好きなタイプの問題です。

さて、次回の数学教室のお知らせです。

◎日時  9月8日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「図形と方程式」を続けます。p.45例題8の解説から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかLINEに、ご予約をお願いいたします。







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