たまりば

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2018年06月24日

7月7日(土)、大人のための数学教室を開きます。


6月23日(土)、大人のための数学教室を開きました。
今回から、新しい単元です。
「図形と方程式」、これがなかなか難しく、公式まみれの数Ⅱがいよいよ始まるぞという印象です。
1つ1つの公式が全て大切で次につながるものですので、理解し、整理し、活用していきましょう。

今回、まずは数直線上の点の話から始まります。
中学の頃から座標というとx座標とy座標がある座標平面上の点のことという思いこみがあると、数直線上の座標というものに違和感がある人もいます。
まず、そこを整理しましょう。
数直線上にも座標は存在します。
数直線はすなわちx軸で、それしか存在しないので、x座標しかないと思ってください。
数直線上の3の位置に点Pが存在する場合、P(3)と書きます。

さて、数直線上の点の座標について理解できたところで、次に、数直線上の2点間の距離について。
これは、中学生の頃も学習しています。
座標の大きいほうの点の座標から、小さいほうの点の座標を引けば、距離が出ます。

例題 2点A(3)、B(-5)間の距離を求めよ。

3-(-5)=3+5=8

よって、距離は8です。
この解き方で構わないのですが、絶対値の記号を用いて考えるならば、「大きいほうの点から小さいほうの点を」ということを特に意識しなくても、同じ値を求めることができます。

|-5-3|=|-8|=8

同じ答えが出てきました。
大切なことは、必ず引くこと。
決して足してはいけません。
負の符号を勝手に外してもいけません。
ちゃんと符号をつけて書き、そして引くこと。
それさえ守れば、どちらの点の座標から書いても、距離は正しく求めることができます。

続いて、内分点・外分点。
中3の数学を学習していた頃、発展的な内容としてメネラウスの定理を学習しましたから、内分点・外分点については既に学習しています。
しかし、図形の学習があまりにも久しぶりなので、覚えていないかもしれません。

まずは内分の定義から。
下の図をご覧ください。

A(1)   P(3)   B(7)

線分ABの間に点Pがあります。
点Pは、ABを内側で分けている点と見ることができます。
このような点を内分点といいます。
上の図では、AP=2、PB=4です。
点Pは、ABを2:4、すなわち1:2に内分しています。

A(1)  B(3)   P(9)

この図はどうでしょうか?
点PはABの右側にあります。
このような点Pを外分点といいます。
「分けていないのに外分というのは、納得がいかない」
生徒から、このように言われることがあるのですが、内分とセットで外分という言葉を使っていると思って、そこのところは納得しましょう。
上の図では、AP=8、BP=6です。
このような場合、点Pは、ABを8:6、すなわち4:3に外分するといいます。

 P(2)  A(4)  B(8)

この図は、点PがABの左側にあります。
これも外分です。
AP=2、PB=6 です。
点Pは、ABを2:6、すなわち1:3に外分しています。

外分点が右にくるか左にくるかは、4:3や1:3といった比のどちらの数字が大きいかによります。
初めて外分を学ぶと、上手く外分できず、結局全て内分してしまうことがありますので、できるようになるまで練習しましょう。
最初の数字が大きい外分は、右にグンと進んでから、左に戻るようにすると外分できます。
最初の数字が小さい外分は、まず左に進んでから、右に戻るようにすると、外分できます。

さて、内分・外分がわかったところで、内分点・外分点の座標の求め方に進みます。
まずは内分点。
公式は、これです。

点A(a)、B(b)をm:nに内分する点の座標は、


na+mb
m+n

です。
これは、必ず覚えるべき公式です。
今後もこの単元で出てきますし、忘れた頃、数Bの「ベクトル」の学習でも多用します。
なぜこれで求められるのか証明を理解しておくと、万一公式を忘れた場合に自力で復元できます。
A(a)、B(b)をm:nに内分する点をP(x)とします。

A(a) P(x)  B(b)

図を参照にしながら、比例式を立ててみましょう。
(x-a):(b-x)=m:n
となります。
比例式は、内項の積=外項の積 ですから、
m(b-x)=n(x-a) と変形できます。
これを整理していきましょう。
mb-mx=nx-na
xの項を左辺に集めましょう。
-mx-nx=-na-mb
(-m-n)x=-na-mb
x=(-na-mb)/(-m-n)
分母・分子に-1をかけて、符号を整理しましょう。
x=(na+mb)/(m+n)

公式の通りになりましたね。ヽ(^。^)ノ

次は外分点の座標の公式です。


-na+mb
m-n

これが外分点の座標の公式です。
証明しましょう。
まずは点PがABの右にある場合。

A(a)  B(b)   P(x)

この位置関係ですね。
比例式にすると、
(x-a):(x-b)=m:n
m(x-b)=n(x-a)
mx-mb=nx-na
mx-nx=-na+mb
(m-n)x=-na+mb
x=(-na+mb)/(m-n)

点PがABの左にある場合はどうでしょうか?

P(x)  A(a)  B(b)

この位置関係です。
(a-x):(b-x)=m:n
m(b-x)=n(a-x)
mb-mx=na-nx
-mx+nx=na-mb
(-m+n)x=na-mb
x=(na-mb)/(-m+n)
x=(-na+mb)/(m-n)

やはり公式の通りになりました。
点PがABの右にあっても左にあっても、外分点の座標は同じ公式で求められることがわかりました。
あとは、この公式を正確に活用するだけです。

さて、次回の数学教室のお知らせです。

◎日時  7月7日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「図形と方程式」を続けます。p.44例題5の解説から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかLINEに、ご予約をお願いいたします。










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