たまりば

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2018年05月12日

5月26日(土)、大人のための数学教室を開きます。


5月12日(土)の大人のための数学教室は、出席者0人のため、中止となりました。
次回は5月26日(土)となります。

さて、授業がなかったので、今回は、余談として、インド式かけ算の話をします。
2桁×2桁のかけ算を暗算でできたらいいのになあと思うことがありますよね。
インド式かけ算では、それができるのです。

まずはその仕組みから。
十の位がa、一の位がbである整数と、十の位がx、一の位がyである整数をかけるとします。
文字式で表すと、
(10a+b)(10x+y) と表すことができます。
これを展開すると、
100ax+10ay+10bx+by
となります。
これを筆算のように書いてみると、

  ab
x xy
axby
 ay
 bx

と表すことができます。
axやbyは、積のことであり、文字そのものではありません。

例えば、36×27 は、

  36
× 27
 642  ・・・2×3=6 の横に、6×7=42 を書いたもの。
 21   ・・・3×7=21 を書いたもの。
 12   ・・・2×6=12 を書いたもの。
 972

となります。
この構造をしっかり理解していると暗算が可能です。
  36
× 27

まずは6×7=42 の2が一の位にくることは確定です。

  36
× 27
   2

次に、先ほどの6×7=42 の4と、互いの十の位と一の位とをたすきにかけた答えの一の位の数とを足したものが、答えの十の位となります。
3×7=21の1と、6×2=12の2です。
4+1+2=7
7が十の位だとわかります。

  36
× 27
  72

先程の十の位を出すためのたし算に繰り上がりの数があったら忘れずにメモをしておきますが、今回はありませんでした。
次は、互いの十の位どうしをかけた数3×2=6の6と、互いの十の位と一の位とをたすきにかけた答えの十の位を足します。
6+2+1=9
これは2桁になったらそのまま、千の位から書いていきます。
今回は、百の位におさまりましたね。
先程の繰り上がりがあったら、それもたします。

  36
× 27
 972

これが答えです。
慣れないうちは大変ですが、慣れれば機械的作業ですから、暗算が可能です。
この暗算はさすがに技術が必要なので、こんな苦労をするくらいなら普通の筆算のほうがいいなあと思う人が多いかもしれません。
ただ、インド式かけ算で筆算するなら、日本式の筆算より速く正確にできる可能性はあります。

  36
× 27
 642
 21
 12 
 972

まずはかけ算に集中し、最後にまとめてたし算するので、途中の繰り上がりに頭を使わなくて済みますから、速く計算できるでしょう。
日本式の筆算は、繰り上がりを意識しながら、かけ算とたし算を同時にこなさなくてはならず、そこでミスする子が多いですね。

とはいえ、日本の学校に通っているのに1人だけインド式でかけ算するというのは、もしも混乱したときに周囲に補助してくれる人が存在しないので、リスクが高いです。
常に正解ならば周囲も何も言わないでしょうが、いったん間違えたときに、何を間違えたのか指摘したり補助してくれる先生も友達もいないことを覚悟しなくてはなりません。


ずっと前にこのブログに書きましたが、アメリカ式のひき算と日本式のひき算との間で苦労していた子に授業したことがあります。
アメリカ人のお父さんと日本人のお母さんとの間に生まれた子でした。
小学校の途中まではアメリカに住んでいて、アメリカ式のひき算を学習したのですが、途中から日本で暮らすようになりました。
インターナショナルスクールに通えば問題なかったのでしょうが、両親の強い希望で日本の公立学校に転入したため、日本式のひき算を途中からやらねばならなくなりました。
アメリカにいた頃から、家庭でもお母さんが日本式で教えたので、本人の中で混乱が起こり、結局、引き算がわからなくなっていたのも大きな原因でしょう。

ところで、アメリカ式のひき算とはどのようなものか?
アメリカ式とはいっても、アメリカ全土で同じようにやっているのかどうかは未確認なのですが、とにかく日本のひき算とは異なります。

4-7 の計算をしてみましょう。

日本では、まず一の位の計算をする際、4から7は引けないので、十の位から10を下ろして、14-7=7 とします。
その計算をさらに詳しく語るならば、下ろしてきた10から7を引いて、10-7=3。
その3と、もともと一の位にあった4をたして、3+4=7 です。

ところが、その子がアメリカで習ってきた引き算は、
4から7が引けないことを確認したら、まず7-4=3 をします。
日本では禁じ手である、下から上をひく計算をするのです。
これで、ひけない分、つまり不足分が3であることがわかります。
その不足分は、十の位から10を下ろしてきて引きます。
10-3=7 です。
したがって、14-7=7 です。

日本は、引いてから足します。
アメリカ、引いて、さらに引きます。

それぞれ理屈は正しいので、どちらかのやり方を貫き通せば何も問題ないのですが、その子はアメリカではアメリカ式、しかし、家庭でお母さんに算数を見てもらうときや日本に帰ってからは日本式で教えられ、ごちゃごちゃになってしまったようです。
14-7=13
といった答案が多く見られました。
いったん癖になってしまうと、こういう基本的なことはなかなか治りません。
長期に渡る丹念な指導が必要でした。

さて、次回の数学教室のお知らせです。
◎日時  5月26日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「因数定理・高次方程式」を続けます。p.37例題14の解説から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかLINEに、ご予約をお願いいたします。











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