たまりば

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2017年11月27日

12月9日(土)、大人のための数学教室を開きます。


画像は昨日撮影した数馬峠からの富士山。
空がきれいに撮れない携帯カメラで残念です。

さて、11月25日(土)、大人のための数学教室を開きました。
今回は、「解と係数の関係」。
これは、数Ⅰで学習済みの内容です。
テキストをお持ちの方は数Ⅰテキストのp63をご覧ください。
それに虚数解を加えたのが今回の学習内容です。

解と係数の関係とは?

2次方程式 ax2+bx+c=0 の2つの解をα、βとすると、
α+β=-b/a 、αβ=c/a

これが解と係数の関係です。
これの説明は特に難しいものではありません。

α、βを解に持つ2次方程式の1つは、
(x-α)(x-β)=0 と表すことができます。
これを展開すると、
x2-αx-βx+αβ=0
x2-(α+β)x+αβ=0 ・・・①
となります。
一方、ax2+bx+c=0 の両辺をaで割ると、
x2+b/ax+c/a=0 ・・・②
①と②は同じ方程式ですから、係数を比較すると、
α+β=-b/a 、αβ=c/a

この説明で、
α、βを解に持つ2次方程式の1つは、
(x-α)(x-β)=0 と表すことができる。
というところがまず1つのヤマ場かもしれません。
例えば、
(x-2)(x-3)=0
という2次方程式を解けと言われたら、
x=2、3
という解になります。
逆に、解がx=2、3 である2次方程式を復元するなら、
(x-2)(x-3)=0
は、その1つです。
「1つ」というのは、x2の係数は1とは限りませんから、上の式の両辺を何倍かした方程式は全て、x=2、3 を解に持ちます。
ですから、x=2、3 を解にもつ方程式は無数に存在するけれど、とにかく、
(x-2)(x-3)=0 はその1つです。
同じように、解がx=α、β である2次方程式の1つは、
(x-α)(x-β)=0 です。
ここがわかれば、その後は特に難しいことはないと思います。
符号処理で少し混乱する人がいるかな?というくらいでしょう。

問題 2数 2+√5i 、2-√5i を解とするxの2次方程式を求めよ。

もう一度確認しますが、α、βを解とするxの2次方程式の1つは、
x2-(α+β)x+αβ=0 です。
ですから、α+βとαβ、すなわち、2つの解の和と積を先に求めてしまうと、2次方程式は楽に復元できます。
上の問題で2数の和は、
(2+√5i)+(2-√5i)=4
2数の積は、
(2+√5i)(2-√5i)
=4-5i2
=4-5・(-1)
=4+5
=9
よって、求める2次方程式は、
x2-4x+9=0
です。


問題 連立方程式 x+y=-4、xy=6 を解け。

急に応用になって、え?どういうこと?と思いますね。
この学習の流れでないならば、普通に代入法で解くことを思いつくでしょう。
まずはそれでやってみましょう。
x+y=-4 より y=-x-4
これをxy=6 に代入して、
x(-x-4)=6
x2-4x-6=0
x2+4x+6=0
解の公式を用いて、
x=-2±√4-6
 =-2±√-2
 =-2±√2 i
x=-2+√2  i をx+y=-4 に代入して、
-2+√2 i +y=-4
         y=-4+2-√2 i
          =-2-√2 i
また、x=-2-√2 i をx+y=-4 に代入して、
-2-√2 i+y=-4
         y=-4+2+√2 i
          =-2+√2 i 
よって、(x、y)=(-2+√2i、-2-√2i)、(-2-√2i、-2+√2i)

これで構わないわけですが、与えられたのがxとyの和と積であることを利用する解き方もあります。
定理に戻ると、αとβが解である2次方程式の1つは、
x2-(α+β)+αβ=0 でした。
和と積がわかっていれば、その2数を解とする2次方程式はすぐに作れるということです。
では、xとyの和と積がわかっている今回、その2数を解とする2次方程式はすぐに作れるんじゃないでしょうか。
xとyが今回はαとβにあたるのです。
だから、xやyとは違う文字の2次方程式にしましょう。
tを用いてみます。
t2-(x+y)t+xy=0 
という式の解は、t=x、y 
となる仕組みですね。
よって、
t2+4t+6=0
t=-2±√4-6
 =-2±√2 i
xとyはこの方程式の2つの解で、どちらがどちらであると特定できるものではありません。
したがって、
(x、y)=(-2+√2 i、-2-√2 i)、(-2-√2 i、-2+√2 i)

さて、次回の大人のための数学教室のお知らせです。
◎日時  12月9日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「複素数」を続けます。p.26の問題20までが宿題です。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。








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