たまりば

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2017年10月15日

10月28日(土)、大人のための数学教室を開きます。


今月号の『山と渓谷』は高尾山特集です。
奥高尾のメインストリートの他、北高尾や南高尾など、山地図から読み取れるほぼ全コースを案内しています。
周辺の山からのロングコースも。
高尾山に初めて来た山岳ライターの記事が面白かったです。
難しい顔で名物のお団子を食べています。( *´艸`)

さて、10月14日(土)、大人のための数学教室を開きました。
前回欠席された方がご出席。
前回の演習から始め、最後の5分で、新しいところに突入しました。
こんな問題です。

問題 a+b=4 のとき、3a2+b2≧12 を証明せよ。

a+b=4 という新しい種類の条件が提示されましたが、この使い方は何となくわかりますね。
おそらく、代入して、文字を1種類に整理するのでしょう。
a+b=4 より b=4-a 
これを代入して、
3a2+b2
=3a2+(4-a)2
=3a2+16-8a+a2
=4a2-8a+16
ここでいつものように平方完成してみましょう。
=4(a2-2a)+16
=4(a-1)2-4+16
=4(a-1)2+12
お?右辺と同じ12が出てきましたね。
これで証明の方向が定まりました。
(a-1)2≧0 より 4(a-1)2+12≧12
等号はa=1のときですね。
ならば、bも決定します。
b=4-a=4-1=3
よって、等号は、a=1、b=3のときに成立する。

不等式の証明を学習していて、よく受ける質問に、
「どのやり方で証明するのか、判断がつかない」
というものがあります。
パッと見た瞬間にこの問題はこのやり方、あの問題はあのやり方で証明する、と判断する基準は何なのか?
それを求める高校生が多いのです。
例えば、相加平均≧相乗平均 の定理を使うときと使わないときの違い、その基準は何なのか?

気持ちはわかるんです。
でも、そういうことはもっと演習しないと、基準や違いの説明を聞いてもピンとこないと思います。
むしろ、そっちを覚えるほうが難しいです。
とにかく試行錯誤してみることのほうを勧めます。
「どのやりかたを使っていいのかわからないから、イライラする。解くのが苦痛だ」
ではなく、
「どのやりかたを使うのかわからないから、色々試してみる。それが面白い」
だと思うんです。
数学を楽しむ態度とはそういうものではないかなあと思うんですよ。

小学校の算数や中学の数学は比較的良く出来たし得意だったという人が、高校数学が急に苦手になる原因の1つも、もしかしたらそれではないかと思うことがあります。
中学の数学までなら、問題を読めばパッと解き方がわかった。
数学とはそういうものだと思っていた。
だから、色々考えないと解き方が見つからない高校数学が嫌いだ。
自分には向いていないと感じる。
そういうことなのではないかと思うのです。

でも、色々考えるのが数学の楽しさです。
(*^^)v

さて、次の問題。
問題 a>1、b>1、a+b=1 のとき、不等式 ax2+by2≧(ax+by)2 を証明せよ。

まずは、上の問題と同様に代入してみましょうか。
a+b=1 より b=1-a
これを左辺-右辺 の式に代入して、
ax2+by2-(ax+by)2
=ax2+(1-a)y2-{ax+(1-a)y}2
=ax2+y2-ay2-a2x2-2axy(1-a)-y2(1-a)2
=ax2+y2-ay2-a2x2-2axy+2a2xy-y2(1-2a+a2)
=ax2+y2-ay2-a2x2-2axy+2a2xy-y2+2ay2-a2y2

うわあ・・・・。
この先、やりようがあるのかもしれませんが、ちょっと迂回したくなってきました。
これは、1回戻って考え直したほうが良さそうです。

バラバラにしたのが良くなかったのかもしれません。
代入前に戻って整理し直してみます。
ax2+bx2-(ax+by)2
=ax2+bx2-(a2x2+2axby+b2y2)
=ax2+bx2-a2x2-2axby-b2y2
=(a-a2)x2-2abxy+(b-b2)y2
=a(1-a)x2-2abxy+b(1-b)y2

ここで、あっとひらめくのです。
a+b=1より、1-a=bですし、1-b=aです。
この両方をそれぞれに代入します。
=abx2-2abxy+aby2
=ab(x2-2xy+y2)
=ab(x-y)2≧0
よって、ax2+bx2≧(ax+by)2
等号は、x-y=0、すなわちx=yのとき成立する。

そんなやり方、思いつかないよ。
最初はそういう感想で当然だと思います。
このテクニック、頭の引き出しに入れておきましょう。
類題を解くときに使うかもしれません。

さて、次回の数学教室のお知らせです。
次回はいよいよ複素数について学習します。
新しい数の登場ですよー。

◎日時  10月28日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「複素数」に入ります。p.19の問題21までが宿題です。

◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。






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