2020年09月10日
高校数Ⅱ「図形と方程式」。三角形の面積。
さて、今回は、座標平面上の三角形の面積の求め方です。
例えば、こんな問題。
問題 点Ｏ(０,０)、Ｂ(８,２)、Ｃ(３,５)を頂点とする三角形ＯＡＢの面積を求めよ。
これも、実際に座標平面にこの三角形を描いて考えるとわかりやすいと思います。
高校生に自力で考えてもらうと、発想が中学生に戻り、中１で学習した解き方をする子が大半です。
すなわち、この三角形を取り囲むように、三角形の頂点が周上にある長方形を描き、その長方形から、余計な直角三角形を３つ引いて、△ＯＡＢの面積を求める方法です。
間違った方法ではありません。
まずは、それで解いてみましょう。
△ＯＡＢを囲むように長方形を作ると、縦５、横８の長方形となります。
そこから、不要な三角形を３つ分の面積を引きます。
５・８－１/２・３・５－１/２・５・３－１/２・８・２
＝４０－２３
＝１７
△ＯＡＢの面積は、１７です。
しかし、せっかく、２点間の距離の求め方や点と直線との距離の求め方を学習したのですから、それを利用した解き方を考えてみましょう。
この△ＯＡＢを、底辺ＡＢ、頂点Ｏの三角形とみなします。
まずは、底辺の長さを求めましょう。
点Ａ(８,２)とＢ(３,５)の距離ですから、２点の距離の公式に代入すると、
ＡＢ＝√(８－３)2＋(２－５)2
＝√２５＋９
＝√３４
底辺をＡＢとみなしたら、この三角形の高さは、点Ｏと直線ＡＢとの距離となります。
そのため、まず直線ＡＢの式を求めましょう。
２点(８,２)、(３,５)を通る直線ですから、２点を通る直線を求める公式に代入して、
ｙ－２＝－３/５(ｘ－８)
両辺を５倍して、
５ｙ－１０＝－３(ｘ－８)
５ｙ－１０＝－３ｘ＋２４
３ｘ＋５ｙ－３４＝０
この直線と、点Ｏ(０,０)との距離ですから、点と直線との距離の公式に代入して、
距離ｄ＝｜－３４｜/ √９＋２５
＝３４/√３４
よって、
△ＯＡＢ＝１/２・√３４・３４/√３４
＝１７
上と同じ面積を求めることができました。
しかし、この求め方、高度な考え方を利用しているわりに、むしろ、中１で学習した求め方よりも計算が面倒くさくなっている気がします。
ご安心ください。
これも、公式があります。
点０(０,０)、Ａ(ｘ1,ｙ2)、Ｂ(ｘ2,ｙ2)のとき、
△ＯＡＢ＝１/２｜ｘ1ｙ2－ｘ2ｙ1｜
この公式に代入してみましょう。
△ＯＡＢ＝１/２｜８・５－２・３｜
＝１/２｜４０－６｜
＝１/２・３４
＝１７
・・・わあ、簡単だあ。
では、この公式を証明しましょう。
底辺を線分ＡＢと見るのは、上の解き方と同じです。
まず、底辺を求めましょう。
ＡＢ＝√(ｘ2－ｘ1)2＋(ｙ2－ｙ1)2 となります。
次に、この三角形の高さ、すなわち、点０とＡＢとの距離ｄを求めます。
そのために、直線ＡＢの式を求めると、
ｙ－ｙ1＝ｙ2－ｙ1 / ｘ2－ｘ1 (ｘ－ｘ1)
これを整理します。
両辺をｘ2－ｘ1 倍して、
(ｙ－ｙ1)(ｘ2－ｘ1)＝(ｙ2－ｙ1)(ｘ－ｘ1)
全て左辺に移項して、
(ｙ－ｙ1)(ｘ2－ｘ1)－(ｙ2－ｙ1)(ｘ－ｘ1)＝０
展開して、整理すると、
－(ｙ2－ｙ1)ｘ＋(ｘ2－ｘ1)ｙ－ｘ2ｙ1＋ｘ1ｙ1＋ｘ1ｙ2－ｘ1ｙ1＝０
(ｙ2－ｙ1)ｘ－(ｘ2－ｘ1)ｙ－(ｘ1ｙ2－ｘ2ｙ1)＝０
よって、点０(０,０)との距離は、
ｄ＝｜０－０－(ｘ1ｙ2－ｘ2ｙ1)｜ / √(ｙ2－ｙ1)2＋(ｘ2－ｘ1)2
ところで、この分母√(ｙ2－ｙ1)2＋(ｘ2－ｘ1)2＝ＡＢであ。
よって、ｄ＝｜ｘ1ｙ2－ｘ2ｙ1｜ / ＡＢ
したがって、
△ＯＡＢ＝１/２・ＡＢ・ｄ
＝１/２・ＡＢ・｜ｘ1ｙ2－ｘ2ｙ1｜ / ＡＢ
＝１/２｜ｘ1ｙ2－ｘ2ｙ1｜
原点を通る三角形の面積は、この公式で簡単に求めることができます。
それでは、こんな問題はどうでしょうか。
問題 点(３,４)、(－４,１)、(２,－５)を頂点とする三角形の面積を求めよ。
原点を通っていない・・・。
では、上の公式は使えないでしょうか？
いいえ。
ちょっと工夫すれば使えます。
原点を通る三角形になるよう、３点を平行移動させればよいのです。
どれでもいいのですが、今回は、点(２,－５)を原点に移動してみましょう。
(２,－５)が、(０,０)に移動するのですから、ｘ軸方向に－２、ｙ軸方向に＋５だけ平行移動することになります。
それにあわせて他の点も移動すれば、全体に平行移動したことになりますから、もとの三角形と面積は等しいです。
(３,４)は、(１,９)に。
(－４,１)は、(－６,６)に。
よって、求める三角形は、点(０,０)、(１,９)、(－６,６)を頂点とする三角形と面積は等しいです。
これを公式に代入すると、
１/２｜１・６－９・(－６)｜
＝１/２｜６＋５４｜
＝３０
これが求める面積となります。
例えば、こんな問題。
問題 点Ｏ(０,０)、Ｂ(８,２)、Ｃ(３,５)を頂点とする三角形ＯＡＢの面積を求めよ。
これも、実際に座標平面にこの三角形を描いて考えるとわかりやすいと思います。
高校生に自力で考えてもらうと、発想が中学生に戻り、中１で学習した解き方をする子が大半です。
すなわち、この三角形を取り囲むように、三角形の頂点が周上にある長方形を描き、その長方形から、余計な直角三角形を３つ引いて、△ＯＡＢの面積を求める方法です。
間違った方法ではありません。
まずは、それで解いてみましょう。
△ＯＡＢを囲むように長方形を作ると、縦５、横８の長方形となります。
そこから、不要な三角形を３つ分の面積を引きます。
５・８－１/２・３・５－１/２・５・３－１/２・８・２
＝４０－２３
＝１７
△ＯＡＢの面積は、１７です。
しかし、せっかく、２点間の距離の求め方や点と直線との距離の求め方を学習したのですから、それを利用した解き方を考えてみましょう。
この△ＯＡＢを、底辺ＡＢ、頂点Ｏの三角形とみなします。
まずは、底辺の長さを求めましょう。
点Ａ(８,２)とＢ(３,５)の距離ですから、２点の距離の公式に代入すると、
ＡＢ＝√(８－３)2＋(２－５)2
＝√２５＋９
＝√３４
底辺をＡＢとみなしたら、この三角形の高さは、点Ｏと直線ＡＢとの距離となります。
そのため、まず直線ＡＢの式を求めましょう。
２点(８,２)、(３,５)を通る直線ですから、２点を通る直線を求める公式に代入して、
ｙ－２＝－３/５(ｘ－８)
両辺を５倍して、
５ｙ－１０＝－３(ｘ－８)
５ｙ－１０＝－３ｘ＋２４
３ｘ＋５ｙ－３４＝０
この直線と、点Ｏ(０,０)との距離ですから、点と直線との距離の公式に代入して、
距離ｄ＝｜－３４｜/ √９＋２５
＝３４/√３４
よって、
△ＯＡＢ＝１/２・√３４・３４/√３４
＝１７
上と同じ面積を求めることができました。
しかし、この求め方、高度な考え方を利用しているわりに、むしろ、中１で学習した求め方よりも計算が面倒くさくなっている気がします。
ご安心ください。
これも、公式があります。
点０(０,０)、Ａ(ｘ1,ｙ2)、Ｂ(ｘ2,ｙ2)のとき、
△ＯＡＢ＝１/２｜ｘ1ｙ2－ｘ2ｙ1｜
この公式に代入してみましょう。
△ＯＡＢ＝１/２｜８・５－２・３｜
＝１/２｜４０－６｜
＝１/２・３４
＝１７
・・・わあ、簡単だあ。
では、この公式を証明しましょう。
底辺を線分ＡＢと見るのは、上の解き方と同じです。
まず、底辺を求めましょう。
ＡＢ＝√(ｘ2－ｘ1)2＋(ｙ2－ｙ1)2 となります。
次に、この三角形の高さ、すなわち、点０とＡＢとの距離ｄを求めます。
そのために、直線ＡＢの式を求めると、
ｙ－ｙ1＝ｙ2－ｙ1 / ｘ2－ｘ1 (ｘ－ｘ1)
これを整理します。
両辺をｘ2－ｘ1 倍して、
(ｙ－ｙ1)(ｘ2－ｘ1)＝(ｙ2－ｙ1)(ｘ－ｘ1)
全て左辺に移項して、
(ｙ－ｙ1)(ｘ2－ｘ1)－(ｙ2－ｙ1)(ｘ－ｘ1)＝０
展開して、整理すると、
－(ｙ2－ｙ1)ｘ＋(ｘ2－ｘ1)ｙ－ｘ2ｙ1＋ｘ1ｙ1＋ｘ1ｙ2－ｘ1ｙ1＝０
(ｙ2－ｙ1)ｘ－(ｘ2－ｘ1)ｙ－(ｘ1ｙ2－ｘ2ｙ1)＝０
よって、点０(０,０)との距離は、
ｄ＝｜０－０－(ｘ1ｙ2－ｘ2ｙ1)｜ / √(ｙ2－ｙ1)2＋(ｘ2－ｘ1)2
ところで、この分母√(ｙ2－ｙ1)2＋(ｘ2－ｘ1)2＝ＡＢであ。
よって、ｄ＝｜ｘ1ｙ2－ｘ2ｙ1｜ / ＡＢ
したがって、
△ＯＡＢ＝１/２・ＡＢ・ｄ
＝１/２・ＡＢ・｜ｘ1ｙ2－ｘ2ｙ1｜ / ＡＢ
＝１/２｜ｘ1ｙ2－ｘ2ｙ1｜
原点を通る三角形の面積は、この公式で簡単に求めることができます。
それでは、こんな問題はどうでしょうか。
問題 点(３,４)、(－４,１)、(２,－５)を頂点とする三角形の面積を求めよ。
原点を通っていない・・・。
では、上の公式は使えないでしょうか？
いいえ。
ちょっと工夫すれば使えます。
原点を通る三角形になるよう、３点を平行移動させればよいのです。
どれでもいいのですが、今回は、点(２,－５)を原点に移動してみましょう。
(２,－５)が、(０,０)に移動するのですから、ｘ軸方向に－２、ｙ軸方向に＋５だけ平行移動することになります。
それにあわせて他の点も移動すれば、全体に平行移動したことになりますから、もとの三角形と面積は等しいです。
(３,４)は、(１,９)に。
(－４,１)は、(－６,６)に。
よって、求める三角形は、点(０,０)、(１,９)、(－６,６)を頂点とする三角形と面積は等しいです。
これを公式に代入すると、
１/２｜１・６－９・(－６)｜
＝１/２｜６＋５４｜
＝３０
これが求める面積となります。
