2020年08月26日
高校数Ⅱ「図形と方程式」。直線の方程式の求め方。その６。恒等式の利用。
今回は、こんな問題を。
問題 ２直線 ２ｘ＋ｙ－５＝０、３ｘ－２ｙ－１１＝０ の交点と、点(１,－２) を通る直線の方程式を求めよ。
・・・あれ？
簡単すぎる・・・？
こういう問題は、以前に学習しましたよね。
では、まず、その解き方から。
２点の座標がわかれば、直線の方程式は求められます。
１点は、問題で示されている点(１,－２)。
あと１点は、２直線の交点。
まず、これを求めましょう。
２直線の方程式を連立して解きます。
２ｘ＋ｙ－５＝０ ・・・①
３ｘ－２ｙ－１１＝０ ・・・②
①×２＋②
４ｘ＋２ｙ－１０＝０
＋)３ｘ－２ｙ－１１＝０
７ｘ －２１＝０
７ｘ＝２１
ｘ＝３ ・・・③
③を①に代入して、
６＋ｙ－５＝０
ｙ＝－１
よって、交点の座標は(３,－１) です。
すなわち、求める直線は、点(１,－２) , (３,－１) を通りますから、２点を通る直線を求める公式に代入して、
ｙ＋２＝１/２(ｘ－１)
ｙ＝１/２ｘ－１/２－４/２
ｙ＝１/２ｘ－５/２
これが答となります。
この解き方で構わないのですが、後に、２円の共有点と他の１点を通る円の方程式などを求める際に利用する解き方があります。
こちらのほうが汎用性が高いです。
ただし、これからの数学の多くはそうですが、汎用性の高い考え方は、難しいです。
できるだけわかりやすく説明したいと思いますが。
まずは、答案を見てみてください。
２直線、２ｘ＋ｙ－５＝０、３ｘ－２ｙ－１１＝０ の交点を通る直線の方程式は、
ｋ(２ｘ＋ｙ－５)＋(３ｘ－２ｙ－１１)＝０ ・・・① と表される。
この直線が、点(１ , ２) を通るから、
ｋ(２－２－５)＋(３＋４－１１)＝０
－５ｋ－４＝０
－５ｋ＝４
ｋ＝－４/５
これを①に代入して、
－４/５(２ｘ＋ｙ－５)＋(３ｘ－２ｙ－１１)＝０
－４(２ｘ＋ｙ－５)＋５(３ｘ－２ｙ－１１)＝０
－８ｘ－４ｙ＋２０＋１５ｘ－１０ｙ－５５＝０
７ｘ－１４ｙ－３５＝０
ｘ－２ｙ－５＝０
これが答です。
・・・はあ？
何それ？
何をしたの？
そのｋって何？
そのような声が、絶叫レベルで聞こえてきそうな気がします。
上の答案は、冒頭の２行が謎に満ちていると感じる人が多いでしょう。
２直線、２ｘ＋ｙ－５＝０、３ｘ－２ｙ－１１＝０の交点を通る直線の方程式は、
ｋ(２ｘ＋ｙ－５)＋(３ｘ－２ｙ－１１)＝０ と表される。
・・・何それ？
何で、２直線の交点を通る直線の方程式が、そんなもので表されるの？
問題は、そこですよね。
これは、ｋについての恒等式なんです。
ｋの値が何であっても、この式は成立するということなのです。
・・・どういうこと？
それでは、ｋの値が何であってもこの式が成立するための条件を考えてみましょう。
ｋ(２ｘ＋ｙ－５)の部分の、(２ｘ＋ｙ－５)の値が０でなければ、そんなものは成立しません。
この( )の中が、例えば１であったり、２であったり、何か０以外の数字になってしまったら、ｋの値によって、左辺＝０ が成立することもあれば成立しないこともある、となってしまいます。
ｋの値が何であってもこの式が成立するためには、ｋの係数は０である必要があります。
だから、２ｘ＋ｙ－５＝０ です。
また、それだけでは、必ず左辺＝０ とはなりません。
後半の( )の中身、３ｘ－２ｙ－１１＝０ も同時に満たさなければ、左辺＝０ とはなりません。
ということは、どういうことか？
ｋ(２ｘ＋ｙ－５)＋(３ｘ－２ｙ－１１)＝０
という式が常に成り立つということは、２ｘ＋ｙ－５＝０、かつ、３ｘ－２ｙ－１１＝０ だということです。
２ｘ＋ｙ－５＝０、かつ、３ｘ－２ｙ－１１＝０
そのときの ｘ と ｙ の値は、この２つの式を連立して解いた解ということです。
それは、この２直線の交点の座標ですよね？
だから、
ｋ(２ｘ＋ｙ－５)＋(３ｘ－２ｙ－１１)＝０
という式が表す直線は、２直線の交点の ｘ 座標と ｙ 座標の値のときは、ｋ の値が何であっても、必ず成立するのです。
すなわち、この直線は、ｋ の値は謎のままであっても、２直線の交点の ｘ 座標と ｙ 座標の関係は満たします。
つまり、この直線は、２直線の交点を必ず通るのです。
わさわざ計算して交点の座標を求めなくても、その交点を通る直線を表すことができるのが、この解き方の利点です。
それでもまだもやもやするという人のために、一応確認しておきましょうか？
冒頭の求め方で、２直線の交点の座標は出してありました。
交点は、点(３,－１) でしたね。
この値を、この ｋ を用いた式に代入してみましょう。
ｋ(６－１－５)＋(９＋２－１１)＝０
０・ｋ＋０＝０
確かに、これなら、ｋが何であっても、成立します。
２直線の交点(３,－１) の値を代入すると、ｋが何であってもこの式は成立します。
つまり、この直線は、ｋの値が何であっても、必ず点(３,－１) は通るのです。
ただし、このままでは、ｋが定まっていません。
２直線の交点は必ず通るけれど、傾きもｙ切片も定まりません。
２直線の交点のところでピン留めされた直線が、３６０度、ぐるぐる回るイメージを抱いてください。
ｋ(２ｘ＋ｙ－５)＋(３ｘ－２ｙ－１１)＝０
という式が表しているのは、そういう、ぐるぐる回る無数の直線なのです。
このｋが定まるとき、その直線は１つに定まります。
回転をやめ、定まった傾きとｙ切片をもった直線の式となります。
では、どうやってｋを求めましょう？
問題を見直してみましょう。
問題 ２直線 ２ｘ＋ｙ－５＝０、３ｘ－２ｙ－１１＝０ の交点と点(１,－２) を通る直線の方程式を求めよ。
求める直線は、点(１,－２) を通るのです。
ならば、求める直線は、
ｋ(２ｘ＋ｙ－５)＋(３ｘ－２ｙ－１１)＝０
という式で表されるうえに、さらに、ｘ＝１ のときｙ＝－２ という条件を満たすということです。
そのとき、ｋの値はただ１つに定まります。
代入してみましょう。
ｋ(２－２－５)＋(３＋４－１１)＝０
これをｋについて解きます。
－５ｋ－４＝０
－５ｋ＝４
ｋ＝－４/５
２直線の交点を通る直線は、３６０度回転して無数に存在するけれど、ｋ＝－４/５であるとき、点(１,－２) を通ります。
では、このｋの値を、ｋ(２ｘ＋ｙ－５)＋(３ｘ－２ｙ－１１)＝０ の式に代入すれば、求める式になるでしょう。
代入しましょう。
－４/５(２ｘ＋ｙ－５)＋(３ｘ－２ｙ－１１)＝０
これを整理しましょう。
両辺を５倍して、
－４(２ｘ＋ｙ－５)＋５(３ｘ－２ｙ－１１)＝０
展開すると、
－８ｘ－４ｙ＋２０＋１５ｘ－１０ｙ－５５＝０
７ｘ－１４ｙ－３５＝０
ｘ－２ｙ－５＝０
これが、求める直線です。
一番上の求め方では、ｙ＝１/２ｘ－５/２となりました。
形が違うだけで、同じ式です。
確かめましょうか。
ｘ－２ｙ－５＝０ を、ｙについて解いてみましょう。
－２ｙ＝－ｘ＋５
ｙ＝１/２ｘ－５/２
やはり、同じ式ですね。
なぜｋを用いるのかが理解できたところで、細かい疑問が浮かぶ人もいるかもしれせん。
ｋ(２ｘ＋ｙ－５)＋(３ｘ－２ｙ－１１)＝０
という式は、なぜ、２ｘ＋ｙ－５のほうにｋをかけたのか？
３ｘ－２ｙ－１１のほうにｋをかけてはいけないのか？
どちらでも、大丈夫です。
同じ結果が出ます。
同じ交点を通る直線の式を表しているのですから。
でも、不安な人もいるかもしれません。
試してみましょう。
ｋ(３ｘ－２ｙ－１１)＋(２ｘ＋ｙ－５)＝０
これが点(１,－２)を通るから、
ｋ(３＋４－１１)＋(２－２－５)＝０
－４ｋ－５＝０
－４ｋ＝５
ｋ＝－５/４
ｋの値が違うっ、と慌てないで。
この段階では違う値が出ます。
このｋを、ｋ(３ｘ－２ｙ－１１)＋(２ｘ＋ｙ－５)＝０ に代入します。
－５/４(３ｘ－２ｙ－１１)＋(２ｘ＋ｙ－５)＝０
－５(３ｘ－２ｙ－１１)＋４(２ｘ＋ｙ－５)＝０
－１５ｘ＋１０ｙ＋５５＋８ｘ＋４ｙ－２０＝０
－７ｘ＋１４ｙ＋３５＝０
ｘ－２ｙ－５＝０
無事に、同じ式となりました。
大丈夫です。
どちらでも、好きなほうの直線をｋ倍してください。
問題 ２直線 ２ｘ＋ｙ－５＝０、３ｘ－２ｙ－１１＝０ の交点と、点(１,－２) を通る直線の方程式を求めよ。
・・・あれ？
簡単すぎる・・・？
こういう問題は、以前に学習しましたよね。
では、まず、その解き方から。
２点の座標がわかれば、直線の方程式は求められます。
１点は、問題で示されている点(１,－２)。
あと１点は、２直線の交点。
まず、これを求めましょう。
２直線の方程式を連立して解きます。
２ｘ＋ｙ－５＝０ ・・・①
３ｘ－２ｙ－１１＝０ ・・・②
①×２＋②
４ｘ＋２ｙ－１０＝０
＋)３ｘ－２ｙ－１１＝０
７ｘ －２１＝０
７ｘ＝２１
ｘ＝３ ・・・③
③を①に代入して、
６＋ｙ－５＝０
ｙ＝－１
よって、交点の座標は(３,－１) です。
すなわち、求める直線は、点(１,－２) , (３,－１) を通りますから、２点を通る直線を求める公式に代入して、
ｙ＋２＝１/２(ｘ－１)
ｙ＝１/２ｘ－１/２－４/２
ｙ＝１/２ｘ－５/２
これが答となります。
この解き方で構わないのですが、後に、２円の共有点と他の１点を通る円の方程式などを求める際に利用する解き方があります。
こちらのほうが汎用性が高いです。
ただし、これからの数学の多くはそうですが、汎用性の高い考え方は、難しいです。
できるだけわかりやすく説明したいと思いますが。
まずは、答案を見てみてください。
２直線、２ｘ＋ｙ－５＝０、３ｘ－２ｙ－１１＝０ の交点を通る直線の方程式は、
ｋ(２ｘ＋ｙ－５)＋(３ｘ－２ｙ－１１)＝０ ・・・① と表される。
この直線が、点(１ , ２) を通るから、
ｋ(２－２－５)＋(３＋４－１１)＝０
－５ｋ－４＝０
－５ｋ＝４
ｋ＝－４/５
これを①に代入して、
－４/５(２ｘ＋ｙ－５)＋(３ｘ－２ｙ－１１)＝０
－４(２ｘ＋ｙ－５)＋５(３ｘ－２ｙ－１１)＝０
－８ｘ－４ｙ＋２０＋１５ｘ－１０ｙ－５５＝０
７ｘ－１４ｙ－３５＝０
ｘ－２ｙ－５＝０
これが答です。
・・・はあ？
何それ？
何をしたの？
そのｋって何？
そのような声が、絶叫レベルで聞こえてきそうな気がします。
上の答案は、冒頭の２行が謎に満ちていると感じる人が多いでしょう。
２直線、２ｘ＋ｙ－５＝０、３ｘ－２ｙ－１１＝０の交点を通る直線の方程式は、
ｋ(２ｘ＋ｙ－５)＋(３ｘ－２ｙ－１１)＝０ と表される。
・・・何それ？
何で、２直線の交点を通る直線の方程式が、そんなもので表されるの？
問題は、そこですよね。
これは、ｋについての恒等式なんです。
ｋの値が何であっても、この式は成立するということなのです。
・・・どういうこと？
それでは、ｋの値が何であってもこの式が成立するための条件を考えてみましょう。
ｋ(２ｘ＋ｙ－５)の部分の、(２ｘ＋ｙ－５)の値が０でなければ、そんなものは成立しません。
この( )の中が、例えば１であったり、２であったり、何か０以外の数字になってしまったら、ｋの値によって、左辺＝０ が成立することもあれば成立しないこともある、となってしまいます。
ｋの値が何であってもこの式が成立するためには、ｋの係数は０である必要があります。
だから、２ｘ＋ｙ－５＝０ です。
また、それだけでは、必ず左辺＝０ とはなりません。
後半の( )の中身、３ｘ－２ｙ－１１＝０ も同時に満たさなければ、左辺＝０ とはなりません。
ということは、どういうことか？
ｋ(２ｘ＋ｙ－５)＋(３ｘ－２ｙ－１１)＝０
という式が常に成り立つということは、２ｘ＋ｙ－５＝０、かつ、３ｘ－２ｙ－１１＝０ だということです。
２ｘ＋ｙ－５＝０、かつ、３ｘ－２ｙ－１１＝０
そのときの ｘ と ｙ の値は、この２つの式を連立して解いた解ということです。
それは、この２直線の交点の座標ですよね？
だから、
ｋ(２ｘ＋ｙ－５)＋(３ｘ－２ｙ－１１)＝０
という式が表す直線は、２直線の交点の ｘ 座標と ｙ 座標の値のときは、ｋ の値が何であっても、必ず成立するのです。
すなわち、この直線は、ｋ の値は謎のままであっても、２直線の交点の ｘ 座標と ｙ 座標の関係は満たします。
つまり、この直線は、２直線の交点を必ず通るのです。
わさわざ計算して交点の座標を求めなくても、その交点を通る直線を表すことができるのが、この解き方の利点です。
それでもまだもやもやするという人のために、一応確認しておきましょうか？
冒頭の求め方で、２直線の交点の座標は出してありました。
交点は、点(３,－１) でしたね。
この値を、この ｋ を用いた式に代入してみましょう。
ｋ(６－１－５)＋(９＋２－１１)＝０
０・ｋ＋０＝０
確かに、これなら、ｋが何であっても、成立します。
２直線の交点(３,－１) の値を代入すると、ｋが何であってもこの式は成立します。
つまり、この直線は、ｋの値が何であっても、必ず点(３,－１) は通るのです。
ただし、このままでは、ｋが定まっていません。
２直線の交点は必ず通るけれど、傾きもｙ切片も定まりません。
２直線の交点のところでピン留めされた直線が、３６０度、ぐるぐる回るイメージを抱いてください。
ｋ(２ｘ＋ｙ－５)＋(３ｘ－２ｙ－１１)＝０
という式が表しているのは、そういう、ぐるぐる回る無数の直線なのです。
このｋが定まるとき、その直線は１つに定まります。
回転をやめ、定まった傾きとｙ切片をもった直線の式となります。
では、どうやってｋを求めましょう？
問題を見直してみましょう。
問題 ２直線 ２ｘ＋ｙ－５＝０、３ｘ－２ｙ－１１＝０ の交点と点(１,－２) を通る直線の方程式を求めよ。
求める直線は、点(１,－２) を通るのです。
ならば、求める直線は、
ｋ(２ｘ＋ｙ－５)＋(３ｘ－２ｙ－１１)＝０
という式で表されるうえに、さらに、ｘ＝１ のときｙ＝－２ という条件を満たすということです。
そのとき、ｋの値はただ１つに定まります。
代入してみましょう。
ｋ(２－２－５)＋(３＋４－１１)＝０
これをｋについて解きます。
－５ｋ－４＝０
－５ｋ＝４
ｋ＝－４/５
２直線の交点を通る直線は、３６０度回転して無数に存在するけれど、ｋ＝－４/５であるとき、点(１,－２) を通ります。
では、このｋの値を、ｋ(２ｘ＋ｙ－５)＋(３ｘ－２ｙ－１１)＝０ の式に代入すれば、求める式になるでしょう。
代入しましょう。
－４/５(２ｘ＋ｙ－５)＋(３ｘ－２ｙ－１１)＝０
これを整理しましょう。
両辺を５倍して、
－４(２ｘ＋ｙ－５)＋５(３ｘ－２ｙ－１１)＝０
展開すると、
－８ｘ－４ｙ＋２０＋１５ｘ－１０ｙ－５５＝０
７ｘ－１４ｙ－３５＝０
ｘ－２ｙ－５＝０
これが、求める直線です。
一番上の求め方では、ｙ＝１/２ｘ－５/２となりました。
形が違うだけで、同じ式です。
確かめましょうか。
ｘ－２ｙ－５＝０ を、ｙについて解いてみましょう。
－２ｙ＝－ｘ＋５
ｙ＝１/２ｘ－５/２
やはり、同じ式ですね。
なぜｋを用いるのかが理解できたところで、細かい疑問が浮かぶ人もいるかもしれせん。
ｋ(２ｘ＋ｙ－５)＋(３ｘ－２ｙ－１１)＝０
という式は、なぜ、２ｘ＋ｙ－５のほうにｋをかけたのか？
３ｘ－２ｙ－１１のほうにｋをかけてはいけないのか？
どちらでも、大丈夫です。
同じ結果が出ます。
同じ交点を通る直線の式を表しているのですから。
でも、不安な人もいるかもしれません。
試してみましょう。
ｋ(３ｘ－２ｙ－１１)＋(２ｘ＋ｙ－５)＝０
これが点(１,－２)を通るから、
ｋ(３＋４－１１)＋(２－２－５)＝０
－４ｋ－５＝０
－４ｋ＝５
ｋ＝－５/４
ｋの値が違うっ、と慌てないで。
この段階では違う値が出ます。
このｋを、ｋ(３ｘ－２ｙ－１１)＋(２ｘ＋ｙ－５)＝０ に代入します。
－５/４(３ｘ－２ｙ－１１)＋(２ｘ＋ｙ－５)＝０
－５(３ｘ－２ｙ－１１)＋４(２ｘ＋ｙ－５)＝０
－１５ｘ＋１０ｙ＋５５＋８ｘ＋４ｙ－２０＝０
－７ｘ＋１４ｙ＋３５＝０
ｘ－２ｙ－５＝０
無事に、同じ式となりました。
大丈夫です。
どちらでも、好きなほうの直線をｋ倍してください。
