たまりば

  地域と私・始めの一歩塾 地域と私・始めの一歩塾  三鷹市 三鷹市

2020年02月05日

料金改定のお知らせ。2020年度。


2020年4月分より、諸経費を改訂いたします。
消費税が8%になった際には、そのままの料金で何とか踏ん張ってまいりましたが、昨年10月より消費税10%となったことに伴い、教室家賃・光熱費・教材費などが軒並み高騰し、この度、諸経費を月額5,000円に改めさせていただきます。
大変申し訳ありませんが、ご理解ください。
2月末に、春期講習のお知らせとあわせ、書面にて改めてお知らせいたします。
改訂は、2020年4月分よりとなります。
授業料は今まで通り、1コマ90分、4,000円です。

週1回通塾の方は、
4,000円×4+諸経費5,000円で、月額2万1000円。
週2階通塾の方は、
4,000円×8+諸経費5,000円で、月額3万7000円。
となります。
よろしくお願いいたします。

  


  • 2020年02月05日

    数Ⅱ「式と証明」2次方程式の解の範囲。アクティブラーニング的に。


    さて、前回は、2次方程式の解の範囲に関して、数Ⅰで学習した解き方を解説して終わりました。
    前回の問題は、数Ⅰの解き方が適していたのです。
    しかし、数Ⅱで学習する「解と係数の関係」を用いると、もっと簡単に解くことができる問題も多いです。

    今回は、こんな問題を見てみましょう。

    問題 2次方程式x2+2(a+2)x-a=0 が異なる2つの正の解をもつような定数aの範囲を定めよ。

    このタイプの問題の中では、一番易しいと思います。
    まずは、もう一度、数Ⅰの解き方で解いてみましょう。
    f(x)=x2+2(a+2)x-a という放物線をイメージします。
    そのグラフとx軸との交点のx座標が、上の2次方程式 x2+2(a+2)x-a=0 の解です。
    実際に、x軸と放物線との概形を描いて具体的にイメージすると、この解き方は理解しやすいです。

    どうすれば、x軸と放物線との交点は2つともx軸の正の位置にくるか?
    条件は3つあります。

    (1)判別式D>0 であること。
    これにより、放物線は、x軸と2つの交点をもつことになりますので、大前提です。

    (2)放物線の軸が、y軸より右にあること。
    もしも、放物線の軸が、y軸より左にあったら、x軸との交点の少なくとも1つは負の数になってしまいます。

    (3) f(0)>0 であること。
    放物線がx軸と2つの交点をもつことと、軸がy軸よりも右側にあることがクリアできても、そのままでは、放物線は横にだらしなく広がり、1つの交点のx座標は負の数になってしまう可能性があります。
    y軸との交点、すなわちy切片が正の数であれば、放物線はスッとすぼまり、問題の条件通り、x軸との交点は2つともx軸の正の部分となります。

    納得できない場合、この3つの条件を満たすが、x軸との交点は負の数になる放物線を描いてみようとしてください。
    どう描いても、放物線はx軸の正の部分と2か所で交わるようになります。
    反例が存在しない。
    すなわち、この3つの条件を満たせば、必ず、放物線はx軸の正の部分と2か所で交わるのです。

    ここのところは、「解き方」として丸暗記するだけでは忘れるのも早いので、心の底から納得できるまで理解を深めてほしいと思います。
    ただ、この問題だけ急に理解を深めようとしても、それ以前の学習を「まあよくわからないけど、そういうものなんだろう」と流してきた人には難しいかもしれません。
    こういう問題になると急に眉を寄せて、
    「わからない。わからない。わかるように解説してほしい」
    と要求する人がいます。
    気持ちはわかりますが、放物線とx軸との交点が2次方程式の解だということも、まずなかなか理解できない場合もあるのです。
    どこからわからなくなっているのか?
    中2で学習した、連立方程式の解が2直線の交点の座標だということも、本質は理解していなかったのではないか?
    中3で学習した、直線と放物線の交点の座標を求めるときに2つの式を連立して解くことも、本質は理解していなかったのではないか?

    「覚えやすいこと」=「わかること」。
    「覚えにくいこと」=「わからないこと」。
    覚え方を教えてもらえば、意味なんかわからなくてもいい。
    そういう学習を小学生の頃から続けてきたのではないか?
    でも、高校数学は複雑で、とうとう覚えきれなくなってきた・・・。
    そうして急に「意味がわからない」という方向にシフトし始めた。
    本当は、意味なんか、小学生の頃からわかっていなかったのに・・・。

    高校数学がわからなくなる子に、そういう子は多いです。
    中学の数学は、暗記と反復で何とかこなしてきた。
    なぜその解き方で解けるのか、深く考えたことなどなかったけれど、典型題の暗記と反復でそこそこの点数を取ってきた。
    ところが、高校数学は、暗記しきれない・・・。
    暗記しても暗記しても、頭から公式や解法が抜け落ちる・・・。

    ・・・そんな勉強をしてきたからですよ、と責めるのは簡単です。
    でも、意味がわからないことに気づいた今こそが、チャンスです。
    もう小学生のときの頭脳ではありません。
    脳は日々成長しています。
    中学生のときに、わからないから諦めてきたことも、もう理解できるかもしれません。
    あのときはわからなかったことも、今ならわかるかもしれないのです。
    1つ1つ、意味に立ち返ることができれば、高校数学はわかるようになります。
    実際は、そんなに大したことはやっていないのですから。
    高校数学なんて、数学の基礎のまた基礎です。
    理解しようと努力すれば理解できるレベルです。
    あとは、どれだけ粘れるか、です。
    今までのように「もういいから、やり方だけ覚えよう」と思ってしまったら、今までと同じ。
    それどころか、暗記することが本当に多いですから、もう数学は諦めることになります。
    数Ⅱのここからが正念場です。


    さて、問題に戻ります。
    上の解法で解いてみましょう。
    (1)判別式より
    x2+2(a+2)x-a=0 の判別式をDとすると、
    D/4=(a+2)2-(-a)>0
    a2+4a+4+a>0
    a2+5a+4>0
    (a+1)(a+4)>0
    a<-4,-1<a ・・・①

    (2)軸の方程式より
    f(x)=x2+2(a+2)x-a の軸の方程式は、x=-2(a+2)/2=-a-2
    軸はy軸より右側にあるから、
    -a-2>0
    -a>2
    a<-2 ・・・②

    (3) f(0)>0より
    f(0)=-a>0
    a<0 ・・・③

    ①、②、③より
    a<-4

    これが解答となります。


    この解き方で何も問題ないのですが、さてここからアクティブラーニング的に。
    グループに分かれて、この問題の解き方を皆で考えなさいと指示された場合、当然、数Ⅰ的な上の解き方が案として出てくるわけですが、他の解き方はないでしょうか?
    数Ⅱで解と係数の関係を学習しました。
    それを利用した解き方も可能ではないでしょうか。
    もう一度問題を見てみましょう。

    問題 2次方程式x2+2(a+2)x-a=0 が異なる2つの正の解をもつような定数aの範囲を定めよ。

    とりあえず、この2次方程式に異なる2つの実数解がないことには、前提が覆ります。
    だから、判別式D>0 は絶対に必要です。
    それは、数Ⅰの解き方と同じですね。
    あとは、解と係数の関係から考えていきます。
    この2次方程式の2つの解をα、βとします。
    この2つが正の数なのですから、α+β>0 ですし、αβ>0 です。
    この条件をクリアすれば、この2次方程式は、2つの正の解をもつでしょう。

    解いてみましょう。
    (1)判別式より
    これは先ほども計算しました。
    x2+2(a+2)x-a=0 の判別式をDとすると、
    D/4=(a+2)2-(-a)>0
    a2+4a+4+a>0
    a2+5a+4>0
    (a+1)(a+4)>0
    a<-4,-1<a ・・・①

    (2)解と係数の関係より
    α+β=-2(a+2)>0
    -2a-4>0
    -2a>4
    a<-2 ・・・②

    αβ>0
    -a>0
    a<0 ・・・③

    ①、②、③より
    a<-4


    同じ答えとなりました。
    そして、こちらのほうが、簡単に式を立てて計算していくことができるのが、答案を見比べて明瞭だと思います。

    数Ⅰで学習した解き方、数Ⅱで学習するこの新しい解き方。
    片方しか覚えない、面倒だから、ではなく、両方とも理解し、適宜使い分けることをお薦めします。

      


  • Posted by セギ at 11:33Comments(0)算数・数学