2020年02月05日
数Ⅱ「式と証明」２次方程式の解の範囲。アクティブラーニング的に。
さて、前回は、２次方程式の解の範囲に関して、数Ⅰで学習した解き方を解説して終わりました。
前回の問題は、数Ⅰの解き方が適していたのです。
しかし、数Ⅱで学習する「解と係数の関係」を用いると、もっと簡単に解くことができる問題も多いです。
今回は、こんな問題を見てみましょう。
問題 ２次方程式ｘ2＋２(ａ＋２)ｘ－ａ＝０ が異なる２つの正の解をもつような定数ａの範囲を定めよ。
このタイプの問題の中では、一番易しいと思います。
まずは、もう一度、数Ⅰの解き方で解いてみましょう。
ｆ(ｘ)＝ｘ2＋２(ａ＋２)ｘ－ａ という放物線をイメージします。
そのグラフとｘ軸との交点のｘ座標が、上の２次方程式 ｘ2＋２(ａ＋２)ｘ－ａ＝０ の解です。
実際に、ｘ軸と放物線との概形を描いて具体的にイメージすると、この解き方は理解しやすいです。
どうすれば、ｘ軸と放物線との交点は２つともｘ軸の正の位置にくるか？
条件は３つあります。
(１)判別式Ｄ＞０ であること。
これにより、放物線は、ｘ軸と２つの交点をもつことになりますので、大前提です。
(２)放物線の軸が、ｙ軸より右にあること。
もしも、放物線の軸が、ｙ軸より左にあったら、ｘ軸との交点の少なくとも１つは負の数になってしまいます。
(３) ｆ(０)＞０ であること。
放物線がｘ軸と２つの交点をもつことと、軸がｙ軸よりも右側にあることがクリアできても、そのままでは、放物線は横にだらしなく広がり、１つの交点のｘ座標は負の数になってしまう可能性があります。
ｙ軸との交点、すなわちｙ切片が正の数であれば、放物線はスッとすぼまり、問題の条件通り、ｘ軸との交点は２つともｘ軸の正の部分となります。
納得できない場合、この３つの条件を満たすが、ｘ軸との交点は負の数になる放物線を描いてみようとしてください。
どう描いても、放物線はｘ軸の正の部分と２か所で交わるようになります。
反例が存在しない。
すなわち、この３つの条件を満たせば、必ず、放物線はｘ軸の正の部分と２か所で交わるのです。
ここのところは、「解き方」として丸暗記するだけでは忘れるのも早いので、心の底から納得できるまで理解を深めてほしいと思います。
ただ、この問題だけ急に理解を深めようとしても、それ以前の学習を「まあよくわからないけど、そういうものなんだろう」と流してきた人には難しいかもしれません。
こういう問題になると急に眉を寄せて、
「わからない。わからない。わかるように解説してほしい」
と要求する人がいます。
気持ちはわかりますが、放物線とｘ軸との交点が２次方程式の解だということも、まずなかなか理解できない場合もあるのです。
どこからわからなくなっているのか？
中２で学習した、連立方程式の解が２直線の交点の座標だということも、本質は理解していなかったのではないか？
中３で学習した、直線と放物線の交点の座標を求めるときに２つの式を連立して解くことも、本質は理解していなかったのではないか？
「覚えやすいこと」＝「わかること」。
「覚えにくいこと」＝「わからないこと」。
覚え方を教えてもらえば、意味なんかわからなくてもいい。
そういう学習を小学生の頃から続けてきたのではないか？
でも、高校数学は複雑で、とうとう覚えきれなくなってきた・・・。
そうして急に「意味がわからない」という方向にシフトし始めた。
本当は、意味なんか、小学生の頃からわかっていなかったのに・・・。
高校数学がわからなくなる子に、そういう子は多いです。
中学の数学は、暗記と反復で何とかこなしてきた。
なぜその解き方で解けるのか、深く考えたことなどなかったけれど、典型題の暗記と反復でそこそこの点数を取ってきた。
ところが、高校数学は、暗記しきれない・・・。
暗記しても暗記しても、頭から公式や解法が抜け落ちる・・・。
・・・そんな勉強をしてきたからですよ、と責めるのは簡単です。
でも、意味がわからないことに気づいた今こそが、チャンスです。
もう小学生のときの頭脳ではありません。
脳は日々成長しています。
中学生のときに、わからないから諦めてきたことも、もう理解できるかもしれません。
あのときはわからなかったことも、今ならわかるかもしれないのです。
１つ１つ、意味に立ち返ることができれば、高校数学はわかるようになります。
実際は、そんなに大したことはやっていないのですから。
高校数学なんて、数学の基礎のまた基礎です。
理解しようと努力すれば理解できるレベルです。
あとは、どれだけ粘れるか、です。
今までのように「もういいから、やり方だけ覚えよう」と思ってしまったら、今までと同じ。
それどころか、暗記することが本当に多いですから、もう数学は諦めることになります。
数Ⅱのここからが正念場です。
さて、問題に戻ります。
上の解法で解いてみましょう。
(１)判別式より
ｘ2＋２(ａ＋２)ｘ－ａ＝０ の判別式をＤとすると、
Ｄ/４＝(ａ＋２)2－(－ａ)＞０
ａ2＋４ａ＋４＋ａ＞０
ａ2＋５ａ＋４＞０
(ａ＋１)(ａ＋４)＞０
ａ＜－４,－１＜ａ ・・・①
(２)軸の方程式より
ｆ(ｘ)＝ｘ2＋２(ａ＋２)ｘ－ａ の軸の方程式は、ｘ＝－２(ａ＋２)/２＝－ａ－２
軸はｙ軸より右側にあるから、
－ａ－２＞０
－ａ＞２
ａ＜－２ ・・・②
(３) ｆ(０)＞０より
ｆ(０)＝－ａ＞０
ａ＜０ ・・・③
①、②、③より
ａ＜－４
これが解答となります。
この解き方で何も問題ないのですが、さてここからアクティブラーニング的に。
グループに分かれて、この問題の解き方を皆で考えなさいと指示された場合、当然、数Ⅰ的な上の解き方が案として出てくるわけですが、他の解き方はないでしょうか？
数Ⅱで解と係数の関係を学習しました。
それを利用した解き方も可能ではないでしょうか。
もう一度問題を見てみましょう。
問題 ２次方程式ｘ2＋２(ａ＋２)ｘ－ａ＝０ が異なる２つの正の解をもつような定数ａの範囲を定めよ。
とりあえず、この２次方程式に異なる２つの実数解がないことには、前提が覆ります。
だから、判別式Ｄ＞０ は絶対に必要です。
それは、数Ⅰの解き方と同じですね。
あとは、解と係数の関係から考えていきます。
この２次方程式の２つの解をα、βとします。
この２つが正の数なのですから、α＋β＞０ ですし、αβ＞０ です。
この条件をクリアすれば、この２次方程式は、２つの正の解をもつでしょう。
解いてみましょう。
(１)判別式より
これは先ほども計算しました。
ｘ2＋２(ａ＋２)ｘ－ａ＝０ の判別式をＤとすると、
Ｄ/４＝(ａ＋２)2－(－ａ)＞０
ａ2＋４ａ＋４＋ａ＞０
ａ2＋５ａ＋４＞０
(ａ＋１)(ａ＋４)＞０
ａ＜－４,－１＜ａ ・・・①
(２)解と係数の関係より
α＋β＝－２(ａ＋２)＞０
－２ａ－４＞０
－２ａ＞４
ａ＜－２ ・・・②
αβ＞０
－ａ＞０
ａ＜０ ・・・③
①、②、③より
ａ＜－４
同じ答えとなりました。
そして、こちらのほうが、簡単に式を立てて計算していくことができるのが、答案を見比べて明瞭だと思います。
数Ⅰで学習した解き方、数Ⅱで学習するこの新しい解き方。
片方しか覚えない、面倒だから、ではなく、両方とも理解し、適宜使い分けることをお薦めします。
前回の問題は、数Ⅰの解き方が適していたのです。
しかし、数Ⅱで学習する「解と係数の関係」を用いると、もっと簡単に解くことができる問題も多いです。
今回は、こんな問題を見てみましょう。
問題 ２次方程式ｘ2＋２(ａ＋２)ｘ－ａ＝０ が異なる２つの正の解をもつような定数ａの範囲を定めよ。
このタイプの問題の中では、一番易しいと思います。
まずは、もう一度、数Ⅰの解き方で解いてみましょう。
ｆ(ｘ)＝ｘ2＋２(ａ＋２)ｘ－ａ という放物線をイメージします。
そのグラフとｘ軸との交点のｘ座標が、上の２次方程式 ｘ2＋２(ａ＋２)ｘ－ａ＝０ の解です。
実際に、ｘ軸と放物線との概形を描いて具体的にイメージすると、この解き方は理解しやすいです。
どうすれば、ｘ軸と放物線との交点は２つともｘ軸の正の位置にくるか？
条件は３つあります。
(１)判別式Ｄ＞０ であること。
これにより、放物線は、ｘ軸と２つの交点をもつことになりますので、大前提です。
(２)放物線の軸が、ｙ軸より右にあること。
もしも、放物線の軸が、ｙ軸より左にあったら、ｘ軸との交点の少なくとも１つは負の数になってしまいます。
(３) ｆ(０)＞０ であること。
放物線がｘ軸と２つの交点をもつことと、軸がｙ軸よりも右側にあることがクリアできても、そのままでは、放物線は横にだらしなく広がり、１つの交点のｘ座標は負の数になってしまう可能性があります。
ｙ軸との交点、すなわちｙ切片が正の数であれば、放物線はスッとすぼまり、問題の条件通り、ｘ軸との交点は２つともｘ軸の正の部分となります。
納得できない場合、この３つの条件を満たすが、ｘ軸との交点は負の数になる放物線を描いてみようとしてください。
どう描いても、放物線はｘ軸の正の部分と２か所で交わるようになります。
反例が存在しない。
すなわち、この３つの条件を満たせば、必ず、放物線はｘ軸の正の部分と２か所で交わるのです。
ここのところは、「解き方」として丸暗記するだけでは忘れるのも早いので、心の底から納得できるまで理解を深めてほしいと思います。
ただ、この問題だけ急に理解を深めようとしても、それ以前の学習を「まあよくわからないけど、そういうものなんだろう」と流してきた人には難しいかもしれません。
こういう問題になると急に眉を寄せて、
「わからない。わからない。わかるように解説してほしい」
と要求する人がいます。
気持ちはわかりますが、放物線とｘ軸との交点が２次方程式の解だということも、まずなかなか理解できない場合もあるのです。
どこからわからなくなっているのか？
中２で学習した、連立方程式の解が２直線の交点の座標だということも、本質は理解していなかったのではないか？
中３で学習した、直線と放物線の交点の座標を求めるときに２つの式を連立して解くことも、本質は理解していなかったのではないか？
「覚えやすいこと」＝「わかること」。
「覚えにくいこと」＝「わからないこと」。
覚え方を教えてもらえば、意味なんかわからなくてもいい。
そういう学習を小学生の頃から続けてきたのではないか？
でも、高校数学は複雑で、とうとう覚えきれなくなってきた・・・。
そうして急に「意味がわからない」という方向にシフトし始めた。
本当は、意味なんか、小学生の頃からわかっていなかったのに・・・。
高校数学がわからなくなる子に、そういう子は多いです。
中学の数学は、暗記と反復で何とかこなしてきた。
なぜその解き方で解けるのか、深く考えたことなどなかったけれど、典型題の暗記と反復でそこそこの点数を取ってきた。
ところが、高校数学は、暗記しきれない・・・。
暗記しても暗記しても、頭から公式や解法が抜け落ちる・・・。
・・・そんな勉強をしてきたからですよ、と責めるのは簡単です。
でも、意味がわからないことに気づいた今こそが、チャンスです。
もう小学生のときの頭脳ではありません。
脳は日々成長しています。
中学生のときに、わからないから諦めてきたことも、もう理解できるかもしれません。
あのときはわからなかったことも、今ならわかるかもしれないのです。
１つ１つ、意味に立ち返ることができれば、高校数学はわかるようになります。
実際は、そんなに大したことはやっていないのですから。
高校数学なんて、数学の基礎のまた基礎です。
理解しようと努力すれば理解できるレベルです。
あとは、どれだけ粘れるか、です。
今までのように「もういいから、やり方だけ覚えよう」と思ってしまったら、今までと同じ。
それどころか、暗記することが本当に多いですから、もう数学は諦めることになります。
数Ⅱのここからが正念場です。
さて、問題に戻ります。
上の解法で解いてみましょう。
(１)判別式より
ｘ2＋２(ａ＋２)ｘ－ａ＝０ の判別式をＤとすると、
Ｄ/４＝(ａ＋２)2－(－ａ)＞０
ａ2＋４ａ＋４＋ａ＞０
ａ2＋５ａ＋４＞０
(ａ＋１)(ａ＋４)＞０
ａ＜－４,－１＜ａ ・・・①
(２)軸の方程式より
ｆ(ｘ)＝ｘ2＋２(ａ＋２)ｘ－ａ の軸の方程式は、ｘ＝－２(ａ＋２)/２＝－ａ－２
軸はｙ軸より右側にあるから、
－ａ－２＞０
－ａ＞２
ａ＜－２ ・・・②
(３) ｆ(０)＞０より
ｆ(０)＝－ａ＞０
ａ＜０ ・・・③
①、②、③より
ａ＜－４
これが解答となります。
この解き方で何も問題ないのですが、さてここからアクティブラーニング的に。
グループに分かれて、この問題の解き方を皆で考えなさいと指示された場合、当然、数Ⅰ的な上の解き方が案として出てくるわけですが、他の解き方はないでしょうか？
数Ⅱで解と係数の関係を学習しました。
それを利用した解き方も可能ではないでしょうか。
もう一度問題を見てみましょう。
問題 ２次方程式ｘ2＋２(ａ＋２)ｘ－ａ＝０ が異なる２つの正の解をもつような定数ａの範囲を定めよ。
とりあえず、この２次方程式に異なる２つの実数解がないことには、前提が覆ります。
だから、判別式Ｄ＞０ は絶対に必要です。
それは、数Ⅰの解き方と同じですね。
あとは、解と係数の関係から考えていきます。
この２次方程式の２つの解をα、βとします。
この２つが正の数なのですから、α＋β＞０ ですし、αβ＞０ です。
この条件をクリアすれば、この２次方程式は、２つの正の解をもつでしょう。
解いてみましょう。
(１)判別式より
これは先ほども計算しました。
ｘ2＋２(ａ＋２)ｘ－ａ＝０ の判別式をＤとすると、
Ｄ/４＝(ａ＋２)2－(－ａ)＞０
ａ2＋４ａ＋４＋ａ＞０
ａ2＋５ａ＋４＞０
(ａ＋１)(ａ＋４)＞０
ａ＜－４,－１＜ａ ・・・①
(２)解と係数の関係より
α＋β＝－２(ａ＋２)＞０
－２ａ－４＞０
－２ａ＞４
ａ＜－２ ・・・②
αβ＞０
－ａ＞０
ａ＜０ ・・・③
①、②、③より
ａ＜－４
同じ答えとなりました。
そして、こちらのほうが、簡単に式を立てて計算していくことができるのが、答案を見比べて明瞭だと思います。
数Ⅰで学習した解き方、数Ⅱで学習するこの新しい解き方。
片方しか覚えない、面倒だから、ではなく、両方とも理解し、適宜使い分けることをお薦めします。
