2019年02月20日
数Ａ「整数の性質」。不定方程式。定数項が大きい場合。
今回も「不定方程式」の学習の続きです。
例えば、こんな問題。
例 ４１ｘ＋１７ｙ＝３０ の整数解を求めよ。
ｘ や ｙ の係数も大きいですし、定数項３０もそこそこ大きいですね。
でも、解き方の基本は今までと同じです。
不定方程式を解くには、まずｘｙの整数解を１組見つけます。
暗算で見つけられれば、それでＯＫ。
しかし、このようにｘｙの係数が大きいと、さすがに暗算で見つけるのは難しくなります。
そこで互除法を利用します。
４１と１７に互除法を用いて、
４１÷１７＝２あまり７ より ７＝４１－１７・２
１７÷７＝２あまり３ より ３＝１７－７・２
目標は、ｘ、ｙの整数解を１組見つけること。
すなわち、４１◇＋１７△＝３０
という形の式を１本作ることです。
そこに向かって、互除法で得られた式をどんどん代入していきます。
あまりが１になるまで計算しなくても、あまりが３０の約数になるまで互除法をやれば、そこから変形していくことができます。
３ならば、１０倍すれば３０ですから、今回は、そこから始めましょう。
３＝１７－７・２
＝１７－(４１－１７・２)・２
＝１７－４１・２＋１７・４
＝４１・(－２)＋１７・５
よって、
４１・(－２)＋１７・５＝３
この式の両辺を１０倍します。
４１・(－２０)＋１７・５０＝３０ ・・・・②
かけ算のまとまりのところ、例えば４１・(－２)のところは、－２のほうだけ１０倍すれば、全体を１０倍したことになります。
４１と－２と両方を１０倍し、４１０・(－２０)としてしまうと、結果としてその部分は１００倍したことになってしまうので、注意が必要です。
これは、中学生が方程式を整理するときによくやってしまうミスですが、高校生になっても、なぜそれではダメなのか実のところわかっていない人もいます。
こういうことをしてはダメなんだというルールとして覚えようとして覚えきれず、ミスを繰り返す。
「数理の根本がよくわかっていないのではないか？」
数学の先生にそう指摘されてしまうのは、こういう点だったりします。
本当にわからない人は、ここで解決しておきたいですね。
わからなくなる度に、実際に計算し、実感をもって確認しておくと良いでしょう。
上の式で、かけ算のまとまりところを両方１０すると、
４１０・(－２０)＋１７０・５０
＝－８２００＋８５００
＝３００
となります。
やはり、もともとの右辺である３を１００倍した結果になってしまい、１０倍にはなりません。
ところが、ここで、０を多く含む計算の正しいやり方を小学生のときに習得できなかったのか、
４１０・(－２０)＝－８２０
としてしまう人もいます。
違うと指摘されれば気づくのですが、自分では、１桁小さくしてしまっていることに気づかないようです。
このあたりがあやふやであることも、等式の両辺を１０倍するやり方を根本で飲み込めなくなっている原因の１つでしょう。
かける数とかけられる数をそれぞれ１０倍すれば、全体としては１００倍になることが、やはり未定着なのだと思います。
小学校の算数のどこかがあやふやであることは、中学・高校と進むにつれて大きな困難を伴います。
算数は大事です。
不定方程式の計算に戻りましょう。
与式を①として、①－②をすると。
４１(ｘ＋２０)＋１７(ｙ－５０)＝０
移項して、
４１(ｘ＋２０)＝－１７(ｙ－５０)
４１と１７は互いに素だから。
ｘ＋２０＝１７ｋ (ｋは整数)
ｙ－５０＝－４１ｋ
よって、答えは、
ｘ＝１７ｋ－２０
ｙ＝－４１ｋ＋５０ (ｋは整数)
後半の計算過程は、ご理解いただけたでしょうか？
そのときはわかるけれど、時間が経つと、またわからなくなる。
不定方程式の計算は、わかって、わからなくなって、またわかっての繰り返しとなる人が多いです。
作業手順だけ覚えようとすると、忘れるのも早いのです。
必ず計算の意味に戻れるようにしておいてください。
例えば、こんな問題。
例 ４１ｘ＋１７ｙ＝３０ の整数解を求めよ。
ｘ や ｙ の係数も大きいですし、定数項３０もそこそこ大きいですね。
でも、解き方の基本は今までと同じです。
不定方程式を解くには、まずｘｙの整数解を１組見つけます。
暗算で見つけられれば、それでＯＫ。
しかし、このようにｘｙの係数が大きいと、さすがに暗算で見つけるのは難しくなります。
そこで互除法を利用します。
４１と１７に互除法を用いて、
４１÷１７＝２あまり７ より ７＝４１－１７・２
１７÷７＝２あまり３ より ３＝１７－７・２
目標は、ｘ、ｙの整数解を１組見つけること。
すなわち、４１◇＋１７△＝３０
という形の式を１本作ることです。
そこに向かって、互除法で得られた式をどんどん代入していきます。
あまりが１になるまで計算しなくても、あまりが３０の約数になるまで互除法をやれば、そこから変形していくことができます。
３ならば、１０倍すれば３０ですから、今回は、そこから始めましょう。
３＝１７－７・２
＝１７－(４１－１７・２)・２
＝１７－４１・２＋１７・４
＝４１・(－２)＋１７・５
よって、
４１・(－２)＋１７・５＝３
この式の両辺を１０倍します。
４１・(－２０)＋１７・５０＝３０ ・・・・②
かけ算のまとまりのところ、例えば４１・(－２)のところは、－２のほうだけ１０倍すれば、全体を１０倍したことになります。
４１と－２と両方を１０倍し、４１０・(－２０)としてしまうと、結果としてその部分は１００倍したことになってしまうので、注意が必要です。
これは、中学生が方程式を整理するときによくやってしまうミスですが、高校生になっても、なぜそれではダメなのか実のところわかっていない人もいます。
こういうことをしてはダメなんだというルールとして覚えようとして覚えきれず、ミスを繰り返す。
「数理の根本がよくわかっていないのではないか？」
数学の先生にそう指摘されてしまうのは、こういう点だったりします。
本当にわからない人は、ここで解決しておきたいですね。
わからなくなる度に、実際に計算し、実感をもって確認しておくと良いでしょう。
上の式で、かけ算のまとまりところを両方１０すると、
４１０・(－２０)＋１７０・５０
＝－８２００＋８５００
＝３００
となります。
やはり、もともとの右辺である３を１００倍した結果になってしまい、１０倍にはなりません。
ところが、ここで、０を多く含む計算の正しいやり方を小学生のときに習得できなかったのか、
４１０・(－２０)＝－８２０
としてしまう人もいます。
違うと指摘されれば気づくのですが、自分では、１桁小さくしてしまっていることに気づかないようです。
このあたりがあやふやであることも、等式の両辺を１０倍するやり方を根本で飲み込めなくなっている原因の１つでしょう。
かける数とかけられる数をそれぞれ１０倍すれば、全体としては１００倍になることが、やはり未定着なのだと思います。
小学校の算数のどこかがあやふやであることは、中学・高校と進むにつれて大きな困難を伴います。
算数は大事です。
不定方程式の計算に戻りましょう。
与式を①として、①－②をすると。
４１(ｘ＋２０)＋１７(ｙ－５０)＝０
移項して、
４１(ｘ＋２０)＝－１７(ｙ－５０)
４１と１７は互いに素だから。
ｘ＋２０＝１７ｋ (ｋは整数)
ｙ－５０＝－４１ｋ
よって、答えは、
ｘ＝１７ｋ－２０
ｙ＝－４１ｋ＋５０ (ｋは整数)
後半の計算過程は、ご理解いただけたでしょうか？
そのときはわかるけれど、時間が経つと、またわからなくなる。
不定方程式の計算は、わかって、わからなくなって、またわかっての繰り返しとなる人が多いです。
作業手順だけ覚えようとすると、忘れるのも早いのです。
必ず計算の意味に戻れるようにしておいてください。
