たまりば

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2019年02月20日

数A「整数の性質」。不定方程式。定数項が大きい場合。


今回も「不定方程式」の学習の続きです。
例えば、こんな問題。

例 41x+17y=30 の整数解を求めよ。

x や y の係数も大きいですし、定数項30もそこそこ大きいですね。
でも、解き方の基本は今までと同じです。
不定方程式を解くには、まずxyの整数解を1組見つけます。
暗算で見つけられれば、それでOK。
しかし、このようにxyの係数が大きいと、さすがに暗算で見つけるのは難しくなります。
そこで互除法を利用します。
41と17に互除法を用いて、
41÷17=2あまり7 より 7=41-17・2
17÷7=2あまり3  より 3=17-7・2

目標は、x、yの整数解を1組見つけること。
すなわち、41◇+17△=30
という形の式を1本作ることです。
そこに向かって、互除法で得られた式をどんどん代入していきます。
あまりが1になるまで計算しなくても、あまりが30の約数になるまで互除法をやれば、そこから変形していくことができます。
3ならば、10倍すれば30ですから、今回は、そこから始めましょう。

3=17-7・2
 =17-(41-17・2)・2
 =17-41・2+17・4
 =41・(-2)+17・5
よって、
41・(-2)+17・5=3

この式の両辺を10倍します。
41・(-20)+17・50=30 ・・・・②

かけ算のまとまりのところ、例えば41・(-2)のところは、-2のほうだけ10倍すれば、全体を10倍したことになります。
41と-2と両方を10倍し、410・(-20)としてしまうと、結果としてその部分は100倍したことになってしまうので、注意が必要です。
これは、中学生が方程式を整理するときによくやってしまうミスですが、高校生になっても、なぜそれではダメなのか実のところわかっていない人もいます。
こういうことをしてはダメなんだというルールとして覚えようとして覚えきれず、ミスを繰り返す。
「数理の根本がよくわかっていないのではないか?」
数学の先生にそう指摘されてしまうのは、こういう点だったりします。
本当にわからない人は、ここで解決しておきたいですね。

わからなくなる度に、実際に計算し、実感をもって確認しておくと良いでしょう。
上の式で、かけ算のまとまりところを両方10すると、
410・(-20)+170・50
=-8200+8500
=300
となります。
やはり、もともとの右辺である3を100倍した結果になってしまい、10倍にはなりません。

ところが、ここで、0を多く含む計算の正しいやり方を小学生のときに習得できなかったのか、
410・(-20)=-820
としてしまう人もいます。
違うと指摘されれば気づくのですが、自分では、1桁小さくしてしまっていることに気づかないようです。
このあたりがあやふやであることも、等式の両辺を10倍するやり方を根本で飲み込めなくなっている原因の1つでしょう。
かける数とかけられる数をそれぞれ10倍すれば、全体としては100倍になることが、やはり未定着なのだと思います。
小学校の算数のどこかがあやふやであることは、中学・高校と進むにつれて大きな困難を伴います。
算数は大事です。


不定方程式の計算に戻りましょう。

与式を①として、①-②をすると。
41(x+20)+17(y-50)=0
移項して、
41(x+20)=-17(y-50)
41と17は互いに素だから。
x+20=17k (kは整数)
y-50=-41k
よって、答えは、
x=17k-20
y=-41k+50 (kは整数)

後半の計算過程は、ご理解いただけたでしょうか?
そのときはわかるけれど、時間が経つと、またわからなくなる。
不定方程式の計算は、わかって、わからなくなって、またわかっての繰り返しとなる人が多いです。

作業手順だけ覚えようとすると、忘れるのも早いのです。
必ず計算の意味に戻れるようにしておいてください。


  


  • Posted by セギ at 10:33Comments(0)算数・数学