山と数学、そして英語。

今回も「確率」の学習。
次は「反復試行の確率」。
例えば、こんな問題です。

例題
袋の中に白玉２個、赤玉６個が入っている。この中から玉を１個取り出し色を調べてから袋に戻す。これを５回繰り返したとき、白玉がちょうど３回出る確率を求めよ。

今までと同じようでいて、実はかなり違うタイプの問題です。
赤玉白玉の出方の順番がわかりません。
５回のうち、とにかく白玉が３回出る。
言い換えると、どこで白玉が出るかは自分で考えて場合分けしなければならないということです。
例えば、白白白赤赤という出方と、白白赤白赤という出方は、異なる玉の出方であり、それぞれに固有の確率があります。
それぞれの場合ごとに確率を計算して、最終的にそれらを足せば答えとなるでしょう。

「なぜ場合分けしなければならないのか、そこからわからない」
という質問を受けることがあります。
異なる出方があるなら、１つ１つ場合分けし、それぞれの確率を足すのだということをまず理解しましょう。
白白白赤赤という出方と、白白赤白赤という出方は異なる出方です。
そのそれぞれに確率があるのです。

５回のうち３回白玉が出る。
さて、場合分けしましょう。
５回のうち３回白玉なら、残る２回は赤玉となります。
その並べ方は、
白白白赤赤
白白赤白赤
白白赤赤白
白赤白白赤
白赤白赤白
白赤赤白白
赤白白白赤
赤白白赤白
赤白赤白白
赤赤白白白
以上の１０通りに場合分けされます。
では次に、そのおのおのの確率を求める式を立ててみましょう。

白白白赤赤　は、１/４・１/４・１/４・３/４・３/４
白白赤白赤　は、１/４・１/４・３/４・１/４・３/４
白白赤赤白　は、１/４・１/４・３/４・３/４・１/４
白赤白白赤　は、１/４・３/４・１/４・１/４・３/４
白赤白赤白　は、１/４・３/４・１/４・３/４・１/４
白赤赤白白　は、１/４・３/４・３/４・１/４・１/４
赤白白白赤　は、３/４・１/４・１/４・１/４・３/４
赤白白赤白　は、３/４・１/４・１/４・３/４・１/４
赤白赤白白　は、３/４・１/４・３/４・１/４・１/４
赤赤白白白　は、３/４・３/４・１/４・１/４・１/４

こうして一覧にしてみますと、同じような分数ばかり並んでいるのがわかります。
要するに、どの場合も、１/４を３回、３/４を２回かけるのですね。
各行は、（１/４）3（３/４）2
とまとめることができます。
（　）の後ろの半角の文字は指数として読んでください。
で、これを全部足します。
同じものを１０個足すのですから、それは×１０と同じこと。
つまり、この問題は、１０（１/４）3（３/４）2という式で求めることができます。

この１０という数字を計算で求めることはできないでしょうか？
白３個、赤２個を並べる並べ方。
これは、以前に学習した「同じものを含む順列」の公式で求めることかできます。
全体でｎ個のうち、同じものがｐ個、また別の種類の同じものがｒ個あったときの順列は、
ｎ！/ｐ！ｒ！・・・
という式で求めることができるのでした。
また、ｎ=ｐ+ｒであるのなら、それは、ｎＣｐという組合せの式と同じものでした。
ですから、白玉３個、赤玉２個の並べ方は、
5Ｃ3=５・４・３/３・２・１=１０　と計算できます。

さあ、これで、反復試行の確率の公式が導かれました。
Ａという事象の確率をｐとするとき、ｎ回の試行のうちｒ回Ａという事象の起こる確率は、
ｎＣｒ・ｐのｒ乗・（１-ｐ）の（ｎ-ｒ）乗
公式で書くと余計わからないと非難轟々の公式ですが、問題を解くことで練習を繰り返し、慣れてしまえば使えるようになります。