2017年10月09日
２次不等式の解法。放物線がｘ軸と共有点を持たない場合。
問題 ２ｘ2＋ｘ＋５>０ を解け。
これの、ｘの右の2は指数として読んでください。
この種の問題は、テキストの解説・解答を読むと、いきなり判別式を書いて判断していると思います。
なぜ、最初から、他の不等式とは違う解き方をするのか？
他の不等式とどこが違うのか？
自学自習をする上で、困惑する点の１つは、そういうところだと思います。
これの、ｘの右の2は指数として読んでください。
この種の問題は、テキストの解説・解答を読むと、いきなり判別式を書いて判断していると思います。
なぜ、最初から、他の不等式とは違う解き方をするのか？
他の不等式とどこが違うのか？
自学自習をする上で、困惑する点の１つは、そういうところだと思います。
でも、実は、こういう不等式も、他の不等式と同じ解き方から考え始めるのです。
まずは普通の２次不等式のように、左辺を因数分解して解くことを考えます。
しかし、因数分解はできないと気づきます。
そこで、２次方程式の解の公式を使って解いていきます。
すると、解の公式の分子の部分の√ の中、つまり判別式にあたる部分が負の数になってしまいます。
そこで、ああ、この２次不等式は、普通のと違うぞと気づく。
その流れで大丈夫なんです。
ただ、慣れてくれば、そんなことをする前に、まず判別式だけ暗算することも可能です。
というよりも、２次不等式を見た瞬間に、判別式は負の数になるなあとピンとくるんです。
判別式 Ｄ＝ｂ2－４ａｃ
ａは正の数となるように不等式は整えてあります。
そこでｃの正負が後半の－４ａｃの正負を決定します。
ｃが負の数ならば、－４ａｃは正の数となり、ｂ2－４ａｃ全体も正の数なります。
問題は、ｃが正の数のときです。
ｃが正の数で、ｂの２乗よりも４ａｃのほうが大きいと、Ｄ＜０となります。
正確にかけ算しなくても、ひと目で大体のことは判断できます。
そういうこともあり、数学のテキストは、いきなり判別式を用いての解説が始まっています。
正確にかけ算しなくても、ひと目で大体のことは判断できます。
そういうこともあり、数学のテキストは、いきなり判別式を用いての解説が始まっています。
しかし、このことを高校生に教えるのは難しいときがあります。
ｃか正の数で、ｂの２乗よりも４ａｃのほうが大きくなればいい。
このことをなかなか理解できない子がいます。
判別式を暗記していないため、書いてみないとわからない子もいます。
ｂの２乗と４ａｃのどちらが大きいかは、きちんと計算しなければわからない、と主張する子もいます。
「こういうのは、私はきちんと計算しないと嫌なんですっ！」
と、キレ気味の反応をする子もいます。
結局、
結局、
「わからないから、普通に解きます」
と言われてその話は終了、というのはよくあることです。
( ;∀;)
でも、それでも構わないんです。
( ;∀;)
でも、それでも構わないんです。
最初に書いたように、まずは因数分解できるのかなあと考え、ダメなら、２次方程式の解の公式で解いてみて、√ の中身が負の数になることに気づき、ああ、特別なタイプの２次不等式だと気づくという順番で、一向に構わないと思います。
問題に戻りましょう。
２ｘ2＋ｘ＋５＞０ を解け。
判別式Ｄ＝１－４・２・５＝－３９＜０
判別式が負の数ですから、放物線ｙ＝２ｘ2＋ｘ＋５ は、ｘ軸と共有点を持たないですね。
ｘ軸と共有点を持たない、下に凸の放物線です。
ｘ軸の上空を放物線が浮いているイメージですね。
では、そのｙの値は常にｙ＞０でしょう。
ということは、すべてのｘについてｙ＞０、すなわち２ｘ2＋ｘ＋５＞０ が成り立つということです。
よって、この不等式の解は、すべての実数です。
ここでの課題は、やはりどうしても ｙ＞０ と２ｘ2＋ｘ＋５＞０ とが頭の中で一致しないことでしょう。
ｘ座標とｙ座標との関係について、何かが頭の中で詰まっていて、つながらない。
そういう子は多いです。
先日も、中学生に「１次関数」の授業をしていました。
問題 直線ｙ＝１/３ｘ＋５・・・① がある。ｘ軸上の点Ｐを通るｘ軸に垂直な直線と直線①との交点をＱとする。
点Ｐのｘ座標をｔとするとき、ＰＱの長さをｔを用いて表せ。
ただし、ｔ＞０とする。
問題より、Ｐ(ｔ,０)ですから、その真上にある点Ｑのｘ座標もｔです。
そして、点Ｑは直線①上の点ですから、Ｑ(ｔ,１/３ｔ＋５)と表すことができます。
よって、ＰＱ＝１/３ｔ＋５ が答えです。
この問題、わかる人には本当に何でもない問題なのですが、わからない子にとっては、もしかしたら一生理解することはないのではないというくらいわからないようなのです。
点Ｐのｘ座標がｔというのがまず少し抵抗があるようですが、それは問題にそう書いてあるので、仕方ないから諦めるようです。
ｐの真上の点Ｑのｘ座標が同じｔであることも少しモヤモヤしているようですが、まあギリギリ理解できるようです。
しかし、Ｑのｙ座標が １/３ｔ＋５ になることは理解できないのです。
まして、ＰＱ＝１/３ｔ＋５ になることとなると全く理解できない様子です。
「直線上の全ての点のｘ座標とｙ座標には、その直線の式と同じ関係があるんだよ。直線は、そういう性質の点の集合なんだから」
「そうなんですか？」
「うん。だから、ｙ＝１/３ｘ＋５ という関係が成り立つので、ｘがｔのときは、ｙは１/３ｔ＋５になるんだね」
「代入すればいいってことですか」
「すればいいっていう言い方はちょっと引っかかるんだけど。本当にわかる？」
「いや、全然わかんないです」
「どこがわからない？」
「いや、もうそれでいいってことで」
「・・・・もう１回説明しますよ」
このような中学生は多いです。
理解していないので、問題の形式が少し変われば、もうそのことを利用できません。
関数の応用問題が解けない子は、多くの場合、ここでつまづいています。
座標平面上の点のｘ座標とｙ座標との関係を利用できません。
その点がどの直線上にあるかに着目すれば、その直線の式を用いて、ｙ座標を表すことができるのです。
しかし、多くの子は、その点がどの直線上の点であるかに着目することができません。
直線の式を用いるという発想を持つことができません。
わかる子は一度の説明でスルッと理解するのですが。
ここで、関数がわかる子とわからない子との間に大差がついていきます。
何としても、中学のこの段階で関数の根本を理解しておいてください。
高校数学を学ぶときに、大きく影響しますから。
