2014年09月11日
ニュートン算と連立方程式
連立方程式の利用、すなわち文章題は、文字を２つ使えるので、１次方程式や２次方程式よりも解きやすいと感じる子のほうが多いです。
室際、１次方程式でかなり苦戦した子も、「個数に関する問題」、「速さに関する問題」、「売買の問題」、「食塩水の問題」などの典型題に関しては、連立方程式の文章題は、ある程度解けるようになることが多いです。
ただし、レベルが上がると、やはり難しいのが文章題。
特に難しいのが、増減に関する問題かもしれません。
たとえば、こんな問題です。
問題 ある牧場では、８０頭の牛を放すと２１週間で草を食べつくし、９３頭の牛を放すと１８週間で食べつくす。
１週間で生える草の量は一定とし、またどの牛も１週間で食べる草の量は同じであるとする。
この牧場で、１００頭の牛を１０週間放したのち、さらに何頭の牛を加えて放牧したら、２週間で草を食べつくすか。
受験算数を知っていらっしゃる方は、よくご存じ。
これはニュートン算と呼ばれるものです。
なぜ、ニュートン算と呼ぶのか。
このタイプの問題を、ニュートンが、「プリンピキア」という著作の中で発表したからです。
昔は、哲学も数学も物理学も、ごった煮的に、一人の人が研究していました。
今のように、科学が細分化・専門家されていなかった時代は、一人の天才が多くの分野で発言していたんですね。
ニュートンは、「こういう問題は、算数では解けないだろう。数学の方程式だから解けるのだ」ということを示す例としてこの問題を作ったらしいです。
しかし、その問題を算数で解いてしまうのが受験算数です。
線分図を描き、比を利用して解きます。
もっとも、ニュートン算は、受験算数の特殊算の中でも、なかなか理解できないものの１つで、これを解ける子は受験生の中でも限られてくるのですが。
私自身も、中学受験をしたのですが、このニュートン算の印象は鮮烈でした。
牛がバクバク草を食べる。
しかし、それにも負けずに、ワッサワサと生え続ける牧草がある。
どう考えても、草の生え方が尋常じゃない。
こんなの嘘じゃないの、と思っていました。
大人になって、私は山歩きをするようになりました。
あるとき、山小屋で相部屋になった方から、面白い話をうかがいました。
その方は、アルプスのトレッキング・ツアーに参加したのです。
憧れのマッターホルンを眺めながらの、楽しいヨーロッパ・アルプスのトレッキング。
その旅の思い出に、足元に生えていたクローバーをこっそり摘んで、土ごと、カメラのフィルム・ケースにしのばせたそうです。
空港の荷物検査でも、その程度のことなら引っかかるはずもなく、その人は、アルプスのクローバーを日本に持ち帰り、自分の庭に植えました。
芝生の隅にそっと。
ひと月もたたないうちに、クローバーは、庭の芝生を駆逐し、庭を埋め尽くして大繁殖したそうです。
外来種の中には、日本の在来種にはない繁殖力をもつものがいます。
そのクローバーもそういうものだったのでしょう。
あまりのことに蒼白になり、その人は、クローバーをすべてむしり取り、燃やしたそうです。
ヨーロッパのクローバー、恐るべし。
私は、ニュートン算の中で生え続ける牧草を、この話で実感しました。
牛が食べても食べても、ワッサワッサ生え続ける牧草は、ニュートンの目の前に実在したのでしょう。
さて、イメージを抱くことができました。
まずは、ニュートン算らしく、受験算数の解き方で解いてみましょう。
問題 ある牧場では、８０頭の牛を放すと２１週間で草を食べつくし、９３頭の牛を放すと１８週間で食べつくす。
１週間で生える草の量は一定とし、またどの牛も１週間で食べる草の量は同じであるとする。
この牧場で、１００頭の牛を１０週間放したのち、さらに何頭の牛を加えて放牧したら、２週間で草を食べつくすか。
線分図を２本描きます。
１本目は、まず左端にもとから生えていた草の量を線分で描きます。
その右に、新たに生える草の分の線分を加えます。
１週間で生える草の量を①としましょう。
２１週間で生える草は、①が２１個分です。
同じ量の草を、牛は食べ尽くしました。
１頭の牛が１週間で食べる草の量を☐の１とします。
８０頭の牛が、２１週間で食べ尽くしたので、この線分図の総量は、☐×８０×２１で、☐の１６８０個分となります。
１本目の線分図の真下に、左端をそろえて、もう１本、線分図を描きます。
左端にもとから生えていた草の量を描きます。
当然、上の線分図と同じ長さです。
その右に、今回は、１８週間で生えた草の量を書き加えます。
①が１８個分です。
その量の草を、牛は食べ尽くしました。
９３頭の牛が、１８週間で食べ尽くしたので、この線分図の総量は、☐×９３×１８で、☐の１６７４個分となります。
大事なのは、ここで、２本の線分図の差を見ることです。
この発想が持てず、描いた線分図を眺めたままで終わってしまう子がいます。
線分図は、差を読み取るのが基本的な使い方です。
もとから生えていた草の量は同じですから、２本の線分図の差は、①で言えば、２１－１８で①が３個分。
同じ差を☐で見ると、１６８０－１６７４＝６ で、☐の６個分となります。
〇３個分が、☐６個分。
つまり、①が、☐２個分にあたります。
そこで、線分図の〇を全て☐の数字で表しましょう。
どちらに線分図を使っても同じですが、今回は、上の線分図を使いましょうか。
〇２１個分は、☐４２個分。
全体の長さは☐１６８０個分でしたから、もとから生えていた草は、
１６８０－４２＝１６３８ で、☐１６３８個分となります。
これがわかれば、もう何でも解けます。
「この牧場で、１００頭の牛を１０週間放したのち、さらに何頭の牛を加えて放牧したら、２週間で草を食べつくすか」
求めるものは、これでしたね。
こうした問題では、「新しく生える草担当の牛」を任命します。
１週間で生える草は、牛２頭分でした。
生えたそばから食べるのが担当の牛が、２頭。
１００頭のうち、２頭が新しい草にかかりきりになります。
残る９８頭で、もとから生えていた草を攻略します。
まず、１０週間で、９８×１０＝９８０の草を食べました。
残りの草は、１６３８－９８０＝６５８
この草を２週間で食べ尽くします。
６５８÷２＝３２９
これに、「新しく生える草担当の牛」２頭を加えて、必要な牛の数は、３３１。
１００頭は最初からいましたから、
３３１－１００＝２３１
答は、２３１頭 です。
さて、同じ問題を、方程式で使って解きましょう。
１週間に生える草の量をｘとする。
１週間に１頭の牛が食べる草の量をｙとする。
あとは、何を表す式を立てるか、です。
文章題の立式が苦手な子は、方程式が何かの数量を表すものであるという発想がありません。
何か足したり引いたりした変な式を立てているので、
「この方程式は、何の量を表しているの？」
と私が質問すると、きょとんとする子がいます。
このセンセイ、何か変なことを訊いてくるけど、何だ？みたいな顔です。
「方程式は、文章の中の何かの数量を表しているんだよ」
と説明しても、まだきょとんとしています。
「え。何か同じ関係を表せばいいんじゃないの？」
「だからね、『等しい関係』というときの、その等しさは、何の数量だから等しいんだろう？」
この話が通じるかどうかは、ニュートン算に限らず、方程式の文章題を解けるかどうかの分かれ目です。
牧場には、もともと生えている草がある。
もともと生えている草の量は、どの場合も等しい。
さらに、新たに毎日生え続ける草がある。
そして、生えた草の総量は、見方を変えれば、牛が食べつくした草の総量である。
そうしたことを把握していることが、ニュートン算を解く場合に欠かせません。
１週間に生える草の量をｘとする。
１週間に１頭の牛が食べる草の量をｙとする。
もともと生えていた草の量を左辺と右辺、それぞれで表すと、
８０ｙ×２１－２１ｘ＝９３ｙ×１８－１８ｘ ・・・①
これを整理しましょう。
１６８０ｙ－２１ｘ＝１６７４ｙ－１８ｘ
－３ｘ＝－６ｙ
ｘ＝２ｙ
これを①の左辺に代入すると、
１６８０ｙ－４１ｙ＝１６３８ｙ となります。
もともと生えていた草は、１６３８ｙ と表すことができます。
これを用いて、
「この牧場で、１００頭の牛を１０週間放したのち、さらに何頭の牛を加えて放牧したら、２週間で草を食べつくすか」
という内容を方程式にしてみましょう。
新しく加える牛をｚ頭とします。
牛が食べ尽くした草の総量を表す式は、
１００ｙ×１０＋２(１００＋ｚ)ｙ＝１６３８ｙ＋１２ｘ
ｘ＝２ｙですから、これを代入すると、
１０００ｙ＋２００ｙ＋２ｙｚ＝１６３８ｙ＋２４ｙ
１２００ｙ＋２ｙｚ＝１６６２ｙ
両辺をｙで割って、
１２００＋２ｚ＝１６６２
２ｚ＝４６２
ｚ＝２３１
答は、２３１頭 です。
中学の定期テストにニュートン算が出るかといったら、ほとんど出ないんです。
かなり学力の高い私立中学でも、出るかどうか。
公立中学の場合、「普通の秀才」と「超秀才」とを識別するために、最後に正答させるつもりのない難問として１題出す主義の先生もいます。
そうした場合、配点は低いことが多いです。
それでも、発展的なテキストには載っています。
私も、ある程度の学力のある子には宿題に出して、解かせてみます。
完全にマスターすることは求めていません。
むしろ、本人がどこまで善戦するのかを見ています。
正解は出ないかもしれません。
でも、どの程度まで正解に肉薄できるのか。
「わかりませんでしたー。教えてくださーい」
と、あっさりギブアップする子は、まあ、それでいいのです。
しかし、間違った式であっても、ある程度の関係を把握して立式している場合、現在の成績がどうであれ、これは伸びる可能性があります。
これは伸ばさなければなりません。
と、こちらも背筋が伸びるんです。
