たまりば

  地域と私・始めの一歩塾 地域と私・始めの一歩塾  三鷹市 三鷹市

2018年07月22日

8月4日(土)、大人のための数学教室を開きます。


7月21日(土)、大人のための数学教室を開きました。
数Ⅱ「図形と方程式」、今回は2回目です。
前回は、数直線上の内分点、外分点の座標の求め方を学習しました。
今回は、座標平面上の線分の内分点・外分点の座標の求め方です。
まずは上の左の図を見てください。
座標平面上に点A(x1,y1)、点B(x2,y2)があります。
この2点を結んだ線分ABをm:nに内分する点Pの座標を考えます。

斜めになっているけど、何とかして線分ABの長さを求めて、それを内分するのかな?

そういう考え方もわからなくはありませんが、もっと簡単に求めることができます。
これ、まずはx座標のことだけ考えましょう。
点A、Bのx座標をx軸に記してみます。
それぞれの点から真下に点を下ろしていくイメージです。
上の図の赤で記したものがそれです。
赤で示した3本の点線は全て平行です。
したがって、平行線と線分の比から、線分AB上でm:nだったものは、x軸上でもm:nであることがわかります。
つまり、求めたい点Pのx座標は、点AとBのx座標を内分の公式に当てはめて求めることができます。
すなわち、点Pのx座標は、


nx1+mx2
m+n

となります。

同様に、点Aと点Bのy座標をy軸上に記して考えるなら、点Pのy座標は、AとBのy座標を内分の公式に当てはめれば求めることができます。
点Pのy座標は


ny1+my2
m+n

となります。

以上の説明でわかりにくいところがある場合、以前に学習したことが曖昧になっている可能性があります。
おそらく、「平行線と線分の比」のことを忘れているのではないかと思うのです。
その場合、中3テキストの「相似」の章で確認してください。

問題 4点A(-2,0),B(-3,-2),C(0,-1),Dを頂点とする平行四辺形ABCDがある。頂点Dの座標を求めよ。

座標平面について初めて学習する中学1年生の数学でも、同じ問題は存在します。
中1では、点Bから点Aへの座標上の移動を読みとり、同じように点Cから点Dへ移動していることからDの座標を求めます。
点Bから点Aへは、x軸の正の方向に1、y軸の正の方向に2だけ移動しています。
したがって、点Cから点Dへも同じだけ移動します。
点C(0,-1)をx軸の正の方向に1、y軸の正の方向に2だけ移動すると、(1,1)。
よって、D(1,1)です。

その求め方でも構わないのですが、対角線の中点の座標を利用して求める方法があります。
この平行四辺形の対角線はACとBDです。
そして、平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わります。
これは、平行四辺形に関する重要な定理です。
この定理を利用します。
A(-2,0),C(0,-1)の中点の座標はx座標、y座標をそれぞれ足して2で割れば良いのですから、(-1,-1/2)となります。
対角線BDの中点も同じ座標です。
これを利用して、方程式を立てます。

D(x,y)とすると、
-3+x /2=-1 
-3+x=-2
x=1

-2+y /2=-1/2
-2+y=-1
y=1

よってD(1,1) となります。

「平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わる」という定理を初耳のように感じる場合は、中学2年のテキスト「四角形」の章で復習できます。
また、中点の座標の求め方も既習なのですが、「え?」「何で?」と思う場合は、それは1:1に内分するということですから、内分の公式で解いて構いません。

・・・・こういう但し書きが多くなるのが、この「図形と方程式」という単元の特徴です。
中学・高校の数学でこれまで学習したことを忘れていると、そこでいちいちつまずくことになるのがこの単元です。
次に学習する重心の座標も、そうです。

三角形の重心。
三角形には外心・内心・重心・垂心・傍心の5種類の点が存在します。
それを三角形の五心と呼びます。
中3数学でも発展的なテキストには載っていますし、数Aの「図形の性質」でも学習する内容です。
外心は、三角形の外接円の中心。
内心は、三角形の内接円の中心。
重心は?

三角形の頂点と対辺の中点を結ぶ線分を中線という。
三角形の3つの中線は1点で交わる。
この点を三角形の重心という。

これが、重心の定義です。
また、重心は、各中線を2:1に内分します。
これも非常に重要です。
え、何それ?と思う場合は、中3か数Aのテキストに戻って復習すると、理解が深まると思います。

さて、今回学習するのは、重心の座標の求め方です。
A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)の三角形ABCの重心の座標は?
まず、頂点Aから辺BCに中線を引きましょう。
頂点Aと、BCの中点Mとを結んだ線分です。
Mの座標は、(x2+x3 / 2 , y2+y3 / 2)。
重心Gは、線分AMを2:1に内分する点ですから、内分点の公式にあてはめ、整理すると、

G(x1+x2+x3 / 3 , y1+y2+y3 / 3)

となります。

問題 △ABCの頂点A、Bの座標はそれぞれ(4,-4),(-1,4)で、重心Gの座標は(-1,2)である。頂点Cの座標を求めよ。

C(x,y)とします。
公式にあてはめると、x座標に関しては、
4-1+x / 3=-1
3+x=-3
x=-6

y座標に関しては、
-4+4+y / 3=2
y=6

よって、C(-6,6) です。

さて、今回の授業はここまででした。
なお、テキストp.45例題7は省略します。
図形の証明問題です。
この先の問題とのつながりはありません。
後に数B「ベクトル」を学習すればもっと簡単に示せることなので省略し、先に進みましょう。
次回は、いよいよ直線の方程式。
ここから、公式の数も爆発的に増えていきます。

次回の数学教室のお知らせです。

◎日時  8月4日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「図形と方程式」を続けます。p.45例題8の解説から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかLINEに、ご予約をお願いいたします。








  • 同じカテゴリー(大人のための講座)の記事画像
    8月25日(土)、大人のための数学教室を開きます。
    夏期講習のお知らせ。2018年夏。
    7月21日(土)、大人のための数学教室を開きます。
    7月7日(土)、大人のための数学教室を開きます。
    6月23日(土)、大人のための数学教室を開きます。
    6月9日(土)、大人のための数学教室を開きます。
    同じカテゴリー(大人のための講座)の記事
     8月25日(土)、大人のための数学教室を開きます。 (2018-08-05 15:09)
     夏期講習のお知らせ。2018年夏。 (2018-07-22 16:10)
     7月21日(土)、大人のための数学教室を開きます。 (2018-07-09 14:08)
     7月7日(土)、大人のための数学教室を開きます。 (2018-06-24 15:10)
     6月23日(土)、大人のための数学教室を開きます。 (2018-06-13 14:49)
     6月9日(土)、大人のための数学教室を開きます。 (2018-05-26 15:15)

    ※このブログではブログの持ち主が承認した後、コメントが反映される設定です。
    上の画像に書かれている文字を入力して下さい
     
    <ご注意>
    書き込まれた内容は公開され、ブログの持ち主だけが削除できます。

    削除
    8月4日(土)、大人のための数学教室を開きます。
      コメント(0)