たまりば

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2018年04月15日

4月28日(土)、大人のための数学教室を開きます。


4月14日(土)、大人のための数学教室を開きました。
今回は、「高次方程式の解法」です。

問題 x3+3x2-4=0 を解け。

2次方程式は、(x-△)(x-☐)=0 の形にくくると解けるのでした。
(  )(  )でくくる、すなわち因数分解すれば良いのです。
高次方程式もその仕組みは同じです。
どうすれば、そのように因数分解できるのか?
上の問題は、共通因数でくくれるわけでも、公式を利用できるわけでもなさそうです。
そんなとき、使うのが因数定理です。
f(a)=0 となるaを見つけたら、
f(x)=(x-a)(   )
という形に因数分解できるのでした。

そのようになるaを探しましょう。
それは、暗算でも、ちょっとメモを取りながらでも構いません。
上の問題では、a=1 だとすぐ気づきますね。
x=1 を代入すると、
1+3-4=0 です。
(x-1) という因数を持つことがわかりましたが、もう一方の( )には何が入るでしょうか。
それは、x3+3x2-4 をx-1 で割った商が入ります。
実際にわり算の筆算をしても良いのですが、手間がかかります。
ここで役立つのが組立除法です。
やってみましょう。

1 3 0 -4   | 1
  1 4  4
1 4 4  0

よって、商は x2+4x+4 です。

これで因数分解できました。
x3+3x2-4=0
(x-1)(x2+4x+4)=0

後半の( )は、公式を利用して、さらに因数分解できます。
(x-1)(x+2)2=0
よって、x=1、-2  です。

問題 x4-5x3+10x2-16=0 を解け。

xに代入してこの式の値が0になる数を探します。
x=1 のとき、1-5+10-16 は0ではないからダメですね。
x=-1 のとき、1+5+10-16=0
あ、これだ。ヽ(^。^)ノ
組立除法をしましょう。

1-5 10   0  -16  | -1
 -1  6 -16   16
1-6 16 -16    0

よって、
(x+1)(x3-6x2+16x-16)=0
次に、後半の( )をさらに因数分解しましょう。
xに代入して0になる値を探します。
1も-1もダメですね。
ではx=2 は?
8-24+32-16=0
おおっ。これだ。ヽ(^。^)ノ

1 -6  16  -16  | 2
   2  -8   16
1 -4   8    0

よって、
(x+1)(x-2)(x2-4x+8)=0

最後の( )はもう実数では因数分解できないですね。
では、2次方程式の解の公式で解きましょう。
xの1次の係数が-4と偶数なので、2本目のほうの公式が使えます。
x2-4x+8=0
       x=2±√4-8
       x=2±√4 i
       x=2±2 i
よって、この方程式の解は、
x=-1、2、2±2 i  です。

問題 2x3-7x2+2=0
さて、この方程式でxに代入して0になる値は?
1も-1もダメ。
2も-2もダメ。
えー?何か計算ミスしたかなあ?とやり直すけれど、やはりダメ。
それで諦めてしまう高校生が多い問題です。
0になる値の見つけ方は、±(定数項)/(最高次の項の係数) でした。
つまり、探すのは整数だけではなく、分数もあり得るのです。
x=-1/2 を代入してみましょう。
2/8-7/4+2
=1/4-7/4+8/4
=0
わあ、0になった。ヽ(^。^)ノ

では、組立除法を。

2 -7  0   2  | -1/2
  -1  4  -2
2 -8  4   0

よって、
2x3-7x2+2=0
(x+1/2)(2x2-8x+4)=0
後半の( )を2で割り、前半の( )に2をかけることで整えます。
(2x+1)(x2-4x+2)=0

このように因数分解した結果を見ると、なぜ、±(定数項)/(最高次の項の係数)なのか、漠然と感じとれるのではないかと思います。
最高次の係数の2が大きく影響するのがわかりますね。
因数分解したときに、どこかの( )は、(2x+△)という形になるでしょう。
そのときのxの解は分母が2の分数の可能性が高いでしょう。

さて、後半の( )は、解の公式で解きましょう。
x2-4x+2=0
       x=2±√4-2
       x=2±√2
よって、この方程式の解は、 
x=-1/2, 2±√2 です。


問題 (x+1)(x+2)(x+3)=5・6・7 を解け。

この問題、左辺の( )は1ずつ増えているし、右辺の整数も1ずつ増えています。
あ、これはx=4 が解だなと気づきます。
x+1が5にあたり、x+2が6にあたり、x+3が7にあたるのですね。

だからといって、それだけ解答欄に書いておしまい、として良いのでしょうか?
これは3次方程式です。
3次方程式は、重解の場合もありますが、基本的には解は3つあります。
残る2つの解を求めずに終わるわけにはいきません。

これは、やはり、展開して整理しましょう。
(x2+3x+2)(x+3)=210
x3+3x2+3x2+9x+2x+6=210
x3+6x2+11x-204=0

さて、これが0になるxの値を見つけないといけないのですが、今回はx=4が解の1つであることは既に見つけてありますので、随分楽です。
いきなり組立除法できます。

1  6  11 -204  | 4
   4  40   204
1 10  51     0

よって、
(x-4)(x2+10x+51)=0
x2+10x+51=0 のとき
        x=-5±√25-51
        x=-5±√26 i
よって、この方程式の解は、
x=4, -5±√26 i  となります。


さて、次回の大人のための数学教室のお知らせです。
前回もここに書きましたが、欠席の連絡は不要ですので、よろしくお願いいたします。
出席される場合のみ、ご連絡ください。

◎日時  4月28日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「因数定理・高次方程式」を続けます。p.35例題11の解説から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。








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