たまりば

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2018年02月25日

3月10日(土)、大人のための数学教室を開きます。


今年も3月11日が近づいてきました。
あれから7年。
セギ英数教室は東日本大震災の年に開校しました。
このブログも、地震の混乱の頃から始まっています。
塾の歩みは、あの日からの歩み。
次回にいただく受講料は「みちのく未来基金」に寄付させていただきます。

さて、2月24日(土)、大人のための数学教室を開きました。
今回も引き続き「剰余の定理」「因数定理」の学習です。

問題 f(x)=4x3-3x2+ax+b がx2-2x-3 で割り切れるように定数a、bの値を定めよ。

割り切れるということは、
f(x)=(x2-2x-3)(   )
という形に因数分解できるということです。
最初の( )をさらに因数分解すると、
f(x)=(x-3)(x+1)(  )
という形になるということ。
これは因数定理が使えますね。
f(3)=0 になるのですから、
f(3)=4・33-3・32+3a+b=0
これを整理して、
108-27+3a+b=0
3a+b=-81 ・・・①
また、f(-1)=0 でもありますから、
f(-1)=4・(-1)3-3・(-1)2-a+b=0
これを整理して、
-4-3-a+b=0 
-a+b=7 ・・・②

あとは、aとbの連立方程式として解きます。
中学2年で学習した内容ですね。
①-②
4a=-88
 a=-22
これを②に代入して、
22+b=7
     b=-15
よって、a=-22、b=-15 となります。

問題 整式 f(x)をx-1でわると-1余り、x-4で割ると5余るという。f(x)を(x-1)(x-4)で割ったときの余りを求めよ。

これは上の問題と異なり、整式 f(x)が何字式なのかわかりません。
だから、(x-1)(x-4)で割った商が何次式であるかもわかりません。
なので g(x)と表します。
fの次だから g で、この文字の使い方にそれ以上の意味はありません。
何でもいいんですよ。

f(x)=(x-1)(x-4) g(x)+ax+b とおく。
(x-1)(x-4)は2次式なので、余りは1次式となります。
それを ax+b とおいています。
ここで剰余の定理が利用できます。
x-1で割ると余りが-1なのですから、f(1)=-1です。
すなわち、
f(1)=a+b=-1 ・・・①
同様に、
f(4)=4a+b=5 ・・・②
②-①
a=6
 a=2
これを①に代入して、
2+b=-1
  b=-3
余りをax+bと表したのでした。
よって、余りは、2x-3 となります。


問題 x9-12 を x2-4 で割ったときの余りを求めよ。
これもg(x)を用いて、
x9-12=(x2-4)g(x)+ax+b と表すことができます。
割る式を因数分解して、
x9-12=(x+2)(x-2)g(x)+ax+b
剰余の定理を用いましょう。
x=-2を代入すると、
(-2)9-12=-2a+b
左辺と右辺を取り換えながら、式を整理すると、
-2a+b=-512-12
-2a+b=-524 ・・・①
また、x=2を代入すると、
29-12=2a+b
2a+b=500 ・・・②
①+②
2b=-24
 b=-12
これを②に代入して、
2a-12=500
    2a=512
     a=256
よって、余りは、256x-12


問題 x6 を(x-1)2 で割ったときの余りを求めよ。

今まで通り、まずはg(x)を用いて式を表してみましょう。
x6=(x-1)2g(x)+ax+b ・・・① とおく。
剰余の定理を用います。
x=1を代入して、
1=a+b ・・・②
さて、ここまでは順調なのですが、割る式が(x-1)2なので、剰余の定理で代入できる値はx=1しかありません。
あれ?
このまま、もう何も動かない?
( ;∀;)

ここで「同じ値を2回代入するぞ方式(仮)」とでも呼ぶべきテクニックを使います。
勿論、同じ式に同じ値を代入しても同じ結果しか得られません。
だから、式自体に変化を与えます。
まずは、②を変形します。
a+b=1
b=1-a
この値を①に代入します。
x6=(x-1)2g(x)+ax+1-a
x6=(x-1)2g(x)+a(x-1)+1
x6-1=(x-1)2g(x)+a(x-1)
・・・お?
この式、両辺を x-1 で割ることができるのでは?
そうすれば、式自体が変質し、もう一度同じ値を代入したときに違う結果が得られそうです。
まず左辺を因数分解してみましょう。
(x3+1)(x3-1)=(x-1)2g(x)+a(x-1)
(x3+1)(x-1)(x2+x+1)=(x-1)2g(x)+a(x-1)
やはり、両辺をx-1で割ることができます。
やってみましょう。
(x3+1)(x2+x+1)=(x-1)g(x)+a
これにx=1を代入します。
(1+1)(1+1+1)=a
よって、a=2・3=6 です。
これを②に代入して、
b=1-6=-5
よって、余りは、6x-5です。

ほとんど手品のようなこの解き方。
「ないわー」
「そんなの絶対思いつかない」
と、高校生には大不評です。
こういうテクニックがあるということを、まずは覚えてください。
文字を減らし、次数を変えれば、同じ値を代入しても結果は同じではないのです。

とはいえ、実際の模試や入試問題でこの問題がポコッと出題されたときに、このテクニックを使えるかどうかは微妙です。

x6を(x-1)2で割った余りを求める。
実際に筆算で割っていけばいいんじゃないの?
何にも発想できないときには、その解き方、私も賛成です。
何もしないのが一番良くない。
とにかく何かをしてみましょう。
x6をx2-2x+1で筆算しても、結果は勿論、余りが6x-5と出てきます。

さて、次回の大人のための数学教室のお知らせです。
◎日時  3月10日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「因数定理・高次方程式」を続けます。p.33例題7(2)の解説から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします







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