たまりば

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2018年01月28日

2月10日(土)、大人のための数学教室を開きます。



1月27日(土)、大人のための数学教室を開きました。
本日は新しい学習内容です。
ここでは、3次式以上の方程式、すなわち「高次方程式」を解くことが目標です。
そのためには、高次方程式を因数分解することが必要です。

2次方程式は、因数分解すれば解けましたよね?
x2-x-2=0 
という2次方程式は、
(x-2)(x+1)=0
と因数分解できるので、
x=2,-1 
という解を得ることができます。
同様に、例えば、ある3次式が、
(x-1)(x-2)(x+4)=0
と因数分解されれば、その解は、
x=1,2,-4
です。
あるいは、
(x+1)(x2+5x+20)=0
という形まで因数分解できれば、最初の( )からx=-1、後の( )は解の公式で解いてさらに2つの解を得ることができるでしょう。
目標は、そういうことができるようになることです。
では、どうすれば、3次以上の式を因数分解できるのでしょうか?
そこに向かって学習は進んでいきます。

多項式を余りなく因数分解したい。
( )( )という形にくくりたい。
そのために、まずは3次式÷1次式の余りの性質について考えていきます。

まずは「剰余の定理」。
(x)=ax3+bx2+cx+d を x-α で割った商が px2+qx+rで、あまりがRだとします。
つまり、
f(x)=(x-α)(px2+qx+r)+R
と書き表すことができます。
これは、小学校で勉強する、わり算の検算の式です。
もとの数=割る数×商+余り
という式ですね。

さて、ここに、x=αを代入してみましょう。
すると、最初の( )内が(α-α)=0となります。
0に何をかけても0ですので、
(α-α)(pα2+qα+r)=0 となります。
したがって、( )( )の部分は消えてしまい、
f(α)=R 
となります。
多項式f(x)をx-αで割った余りは、f(α)、すなわち、もとの式にx=αを代入した数となる。
これが剰余の定理です。

問題 f(x)=3x2-6x2+3x を x-3 で割った余りを求めよ。

x-3で割るのですから、x=3を代入すれば良いですね。
x=3か、x=-3か、符号がわからなくなったら、x-3=0 となるときのxの値というところまで戻って考えれば、混乱を避けられます。
x(3)=3・33-6・32+3・3
   =81-54+9
   =36
余りは、36です。

ところで、これでは余りしか求められませんが、商と余りと両方を求める方法はないでしょうか?
勿論、真面目に筆算すれば良いのですが、もっと簡単な方法はないでしょうか?
あるんです。
それが組立除法です。
ヽ(^。^)ノ

まず、上の板書を見てください。
読みにくいからと無視すると、この先の話は何もわからないので、我慢してご覧ください。
ax3+bx2+cx+dをx-αで割った商がpx2+qx+r、あまりがRだったときの筆算を書いたものです。
筆算するとき、まず ax3÷x を考えて商を立てます。
今、その商が px2 と立ちました。
ということは、aとpは、同じ数でしょう。
すなわち、p=aが成り立ちます。
次に、筆算では、立てた px2 という商と -α をかけたものを筆算で書き込み、bx2 との差を下に書いていきます。
その係数は b-(-αp)=b+αp です。
次の商で qx が立ったということは、q=b+αp が成り立ちます。
同様に、r=c+αq 、R=d+αr が成り立ちます
すなわち、筆算しなくても、p=aですし、そこから芋づる式に、q、r、Rを求めていくことができます。
それを図式化したのが、組み立て除法です。

やり方自体は簡単なのですが、理解するまでに相当すったもんだするのが、この「組立除法」です。
上の画像の後半は、その組立除法のやり方を示しています。
まず、与えられた多項式の係数だけを書いていきます。
ない次数の項があったら、忘れずに0も入れていきます。
の横に、x-α で割る場合は、αを記入します。
符号がわからなくなったらx-α=0となるときのxの値だと思い出してください。

 a  b  c  d   |α

その下に1行分のスペースを開けて、下線を引いておきます。
その下線の下に、まずは、aをそのまま下ろします。
次に、bの下に、αaの値を記入します。
bとαaの和を下線の下に記入します。それがqです。
そのqとαの積をcの下に記入します。
その値とcとの和を下線の下に記入します。それがrです。
そのrとαとの積をdの下に記入します。
その値とdとの和を下線の下に記入します。それがRです。
下線の下に書かれた数値が、p、q、r、Rとなります。

具体的な問題でやってみましょう。

問題 x3-4x2+6x-7 をx-1 で割ったときの商と余りを求めよ。

まず、与式の係数を書いていきましょう。

 1  -4  6  -7   |1

次に、上の説明した通りの計算をしていきます。

 1 -4  6  -7    |1
    1 -3   3
 1 -3  3  -4


よって、商は、x2-3x+3 、余りは-4です。

いったん理解すれば、計算方法自体は簡単なのですが、こうやって書いていて、理解してもらえる自信がありません。
やはり、実際に授業を受けてもらい、補助しながら演習しないと組立除法の伝授は難しいです。
何でもない前提でつまずいてしまい、わからないと感じるのではないかと予想されます。
というわけで、次回以降も、必要になった段階で授業中に組立除法の説明をしていきます。


さて、次回の大人のための数学教室のお知らせです。
◎日時  2月10日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「因数定理」を続けます。p.31の問題5から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします







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