2018年02月07日
データの分析。相関表と共分散。
今回も「データの分析」の学習の続きです。
まずは、相関表の読み取りから。
上の板書の左上の図が相関表というものです。
難しそうですが、実はとても簡単で、小学校４年生で学習する内容です。
例えば「衛生検査」の表。
「ハンカチを持っている・持っていない」
「爪を切っている・切っていない」
そういう２種類の分類を縦横に組み合わせた表をご覧になったことがあると思います。
あれが相関表です。
上の図は、そういう相関表をもっと無味乾燥にしたものですが、読み取り方は同じです。
例えば、上の図で、ｘ＝２で、ｙ＝１の人は、０人。
ｘ＝２で、ｙ＝２の人は、１人。
ｘやｙの値は、データそのものかもしれませんし、度数分布表の各階級を代表する階級値かもしれません。
上の相関表で赤字で書いてあるのは、それぞれの度数です。
外側の青字で書いてあるのは、その合計です。
ｘの合計は、横の数字をたしていくとわかります。
つまり、ｘ＝２の度数は、０＋１＋４＋３で、合計で８人。
ｘ＝１の度数は、１６人。
ｙの合計は、縦にたしていきます。
ｙ＝１の度数は、７人。
ｙ＝２の度数は、９人。
さらに、青字を横に全部たすと、３２人。
青字を縦に全部たしても、３２人。
このデータの度数は全部で３２人であることがわかります。
簡単ですね。
ヽ(^o^)丿
さて、ここからこのデータの分析に入ります。
まずは、平均を求めましょう。
ｘの平均は、ｘの総合計を度数で割れば出ます。
ｘの総合計は、相関表の外側に青字で書いた度数の小計を使って求めることができます。
ｘ＝２の人が８人。つまりこの階級の合計は、２×８＝１６
ｘ＝１の人が１６人。合計は、１×１６＝１６
ｘ＝０の人が８人。合計は、０×８＝０
ゆえに、総合計は、１６＋１６＋０＝３２
度数の合計も３２ですから、平均は、
３２÷３２＝１となります。
ｘの平均は１です。
ｙも同様に計算できます。
１/３２(１×７＋２×９＋３×９＋４×７)＝２.５
ｙの平均は、２.５です。
さて、次に分散を求めましょう。
前回学習した内容です。
分散とは、偏差(そのデータと平均との差)を２乗したものの平均のことでした。
相関表の場合、これも外側に書いた青字の数字が役に立ちます。
ｘ＝０の偏差の２乗は、(０－１)2。
それが８人いるのですから、合計で、８(０－１)2となります。
ｘ＝１は１６人なので、
１６(１－１)2
ｘ＝２は８人。
８(２－１)2
となります。
それらを全てたして、度数全体の３２人で割れば、ｘの分散となります。
すなわち、
Ｓ2ｘ＝１/３２｛８(０－１)2＋１６(１－１)2＋８(２－１)2｝
一見複雑な式ですが、０になって消えるところもあるので、計算は案外楽で答えは、０.５。
ｙの分散も同様に、
Ｓ2ｙ＝１/３２｛７(０－２.５)2＋９(２－２.５)2＋９(３－２.５)2＋７(４－２.５)2｝＝１.１２５
では次に、前回学習した共分散を求めてみましょう。
共分散は、データに正の相関があるか、負の相関があるかを知るための数値でした。
求め方は、(ｘの偏差)×(ｙの偏差)の平均。
順番に求めていきましょう。
まず、ｘ＝０で、ｙ＝１の度数は３人。
その分の(ｘの偏差)×(ｙの偏差)の合計は、
３(０－１)(１－２.５)
ｘ＝０で、ｙ＝２の度数は４人。
すなわち、４(０－１)(２－２.５)
ｘ＝０で、ｙ＝３の度数は１人。
すなわち、１(０－１)(３－２.５)
ｘ＝０で、ｙ＝４の度数は０人。
すなわち、０(０－１)(４－２.５)
こうして見てみると、これらは、(０－１)が共通因数ですね。
だから、こんなふうにくくることができます。
(０－１)｛３(１－２.５)＋４(２－２.５)＋１(３－２.５)＋０(４－２.５)｝
つまりは、ｘの偏差ごとに、ｙの偏差を分けてたしていくイメージです。
ｘの偏差が１－１＝０となる２列目は、０に何をかけても０なので、もうさすがに書くのは省略しましょう。
ｘの偏差が２－１となる、一番上の列は、
(２－１)｛０（１－２.５）＋１（２－２.５）＋４（３－２.５）＋３（４－２.５）｝
これと、さきほどのｘの偏差が０－１だった３列目とをたして、３２で割れば、共分散となります。
式は複雑そうに見えますが、意味がわかれば楽勝です。
板書の通り、共分散は、１２と出ました。
ヽ(^o^)丿
Posted by セギ at 10:47│Comments(0)
│算数・数学
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