たまりば

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2018年01月17日

1月27日(土)、大人のための数学教室を開きます。


1月13日(土)、大人のための数学教室を開きました。
今回も「複素数」。
まずは、複素数の範囲での因数分解です。

問題 x4+3x2-40 を次の範囲で因数分解せよ。
(1)有理数 (2)実数 (3)複素数

こうした問題でネックとなるのは、数学用語の理解です。
「有理数」「実数」「複素数」の定義を覚えていないと、問題が要求していることがよくわからないという事態に至ります。
わからなくなった場合、下の記事に戻って、ご確認ください。
http://seghi.tamaliver.jp/e446726.html

さて、「有理数」の範囲での因数分解というのは、今まで通りの因数分解ということです。
x4+3x2-40
=(x2+8)(x2-5)

これ以上はどうにもならない。
これが有理数の範囲での因数分解です。

しかし、「実数」の範囲での因数分解となると、実数は、有理数の外側に無理数を含んだ集合ですから、平たく言えば、√ が出てきても良いのです。
ならば、( )の中はまだ分解できますね。
a2-b2=(a+b)(a-b)の公式を使えば後ろのほうの( )をさらに分解できます。

(x2+8)(x2-5)
=(x2+8)(x+√5)(x-√5)

さらに、複素数の範囲での因数分解ならば、前のほうの( )も分解できます。
まずは、x2+8=0 を解いてみましょう。
x2=-8
x=±√-8
x=±2√2 i
この解から逆に2次方程式を復元するなら、
(x-2√2 i)(x+2√2 i)=0 
となります。
これが、最初の x2+8=0 と等しいのですから、
x2+8=(x-2√2 i)(x+2√2 i)
と分解できます。

公式 a2-b2=(a+b)(a-b) を利用しても同じです。
x2+8
=x2-(-8)
=x2-(2√2 i)2
=(x+2√2 i)(x-2√2 i)

よって、(3)の答えは、
(x+2√2 i)(x-2√2 i)(x+√5)(x-√5)
となります。
( )内が全てxの1次式に因数分解できました。
あとは、ここまでやる必要があるかどうかということ。
やりたいならば、ここまでできるということなのです。


問題 2次方程式x2+2(a+2)x-a=0 が-3と2の間に異なる2つの解をもつような定数aの範囲を定めよ。

2次方程式の解の正負に関する問題ですね。
数Ⅰ範囲でのこの典型題については、以下に解説してありますので、ご覧ください。

http://seghi.tamaliver.jp/e446027.html

以下は、上のページをご参照いただいた、あるいは、その典型題なら理解していること前提に解説が進みますので、よろしくお願いいたします。

F(x)=x2+2(a+2)x-a=0 とおきます。
これは下に凸に放物線のグラフとなります。
それが、-3と2の間で2か所、x軸と交われば良いのです。
まずは、その通りのグラフを描いて考えます。
このようなグラフにするためには、まず、x軸と2点で交わらなければならないので、判別式を用いましょう。
判別式D>0 ならば、x軸と2点で交わります。

ここのところ、今回、大人のための教室で授業をしても、やはり皆さん「え?」となってしまうところでした。
高校生には、
「D>0ならば、放物線は、x軸の上に浮いて、交わらないんじゃないの?」
と言う子も多いです。
感覚的にわからないでもない誤解ですが、判別式って、そういうものではなかったですよね。
判別式は、放物線のグラフの概形とそのような短絡的につながるものではありません。
判別式は、2次方程式の解の公式の√ 部分の中身です。
√ 部分の中身が0ならば、2次方程式の解は、1つ、すなわち重解となります。
2次関数のグラフで言えば、x軸と接している状態です。
√ 部分の中身が正の数ならば、2次方程式の解は、2つの実数解となります。
2次関数のグラフで言えば、x軸と2点で交わっています。
√ 部分の中身が負の数ならば、2次方程式の解は、2つの虚数解となります。
2次関数のグラフで言えば、x軸とは共有点がない、平たく言えば、下に凸のグラフならばX軸より上に浮いています。
それを判別するのが判別式でした。
グラフがx軸より上に浮いているからD>0ではないのです。

今回の問題では、異なる2つの解をもつので、D>0です。


[1]判別式D>0より
D/4=(a+2)2+a>0
a2+4a+4+a>0
a2+5a+4>0
(a+1)(a+4)>0
a<-4,-1<a ・・・①

この計算過程でも、「何をどうやっているのか、わからない」と混乱する高校生は多いです。
2次不等式の解き方を忘れてしまっているのです。
わからない場合は、下のページを見てください。

http://seghi.tamaliver.jp/e445206.html

数Ⅱを高校生に教えていて困るのは、数Ⅰで学習したことをほとんど忘れていること。
数Ⅰの内容が身についていないと、数Ⅱを学習していくのには多くの困難があります。
数Ⅱで新しく学ぶ内容がわからないわけではないのです。
数Ⅰで学習済みの内容がわからないのです。
数Ⅱで急につまずくわけではないのです。
数Ⅰが身についていないから、その上にはもう何も積み上がらないだけなのです。
今回、この話を大人のための数学教室でもしたのですが、
「でも、何を復習したら良いのかわからない」
と参加者の方が話されていたのが印象的でした。
高校生も同じ気持ちかなあ。

復習して無駄な箇所などありませんので、自分で曖昧になっていると感じるところをどこからでも復習したら良いと思いますが、特に「2次関数」と「三角比」は、今後もずっとネックとなり続けるので、最優先の復習課題です。
応用問題はわからなくても大丈夫なので、基本の定理や計算方法とのその意味はわかるようにしておくと、数Ⅱの学習が随分楽になります。

さて、問題に戻りましょう。
x軸との交点が2つあることから、とにかく、[1]の条件を考えました。
他のどんな条件を満たせば、解は、-3と2との間に2つあるのでしょうか。
放物線の軸が、-3と2との間にあると良いですね。
y=ax2+bx+cの軸の方程式は、x=-b/2a でした。
それを用います。

[2]軸の方程式より
-3<-2(a+2)/2<2
-3<-a-2<2
-1<-a<4
1>a>-4
-4<a<1 ・・・②

しかし、この条件だけでは、放物線はだらんと広がり、-3と2の間にx軸との交点が2つあることにならないですね。
ここで、あと2つの条件に気づきます。
F(-3)>0 と、F(2)>0 です。
x=-3のときのyの値が0より大きいならば、その右側で、放物線x軸と交わっているてしょう。
x=2のときのyの値が0より大きいならば、その左側で、放物線はx軸と交わっています。

[3] F(-3)>0,F(2)>0 より
F(-3)=(-3)2+2(a+2)(-3)-a>0
9-6(a+2)-a>0
9-6a-12-a>0
-7a-3>0
-7a>3
a<-3/7 ・・・③

F(2)=22+2(a+2)×2-a>0
4+4(a+2)-a>0
4+4a+8-a>0
3a+12>0
3a>-12
a>-4 ・・・④

これでグラフはイメージ通りの形になりますね。
よって、①~④より、
-1<a<-3/7


次回の大人のための数学教室のお知らせです。
◎日時  1月27日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「因数定理」に入ります。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします







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