たまりば

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2017年12月13日

1月13日(土)、大人のための数学教室を開きます。


12月9日(土)、大人のための数学教室を開きました。
本日も、数Ⅱ「複素数」の「解と係数の関係」の続きです。

こんな問題です。

問題 2次方程式 x2+6x+1=0 の2つの解をα、βとするとき、3α+2、3β+2 を2つの解とするxの2次方程式を求めよ。

前回も確認しましたが、解と係数の関係は、数Ⅰで既出の内容です。
α、βを2つの解とする2次方程式の1つは、
x2-(α+β)x+αβ=0
であることを利用するのでした。
2数の和と積がわかれば、その2数を解とする2次方程式を作ることができます。
だから、今回は、3α+2と3β+2の和と積がわかれば、2次方程式を求めることができます。
では、どうすれば、3α+2と3β+2の和と積がわかるか?
ここで、与えられた2次方程式を活用できることに気づきます。
まず、与えられた2次方程式 x2+6x+1=0 から、αとβの和と積を求めましょう。
解と係数の関係より、
α+β=-6
αβ=1
ですね。
よって、
(3α+2)+(3β+2)
=3(α+β)+4
=3・(-6)+4
=-18+4
=-14
また、
(3α+2)(3β+2)
=9αβ+6α+6β+4
=9αβ+6(α+β)+4
=9・1+6・(-6)+4
=9-36+4
=-23
したがって、求める2次方程式は、
x2+14x-23=0
です。

次の問題。

問題 2次方程式 x2-(a-1)x-2a=0 の解の差の平方が17のとき、aの値を求めよ。

こういうサラッと1行の問題、怖いですね。
問題集を解いているなら、例題を参考にして、「解と係数の関係を使うんだろうなあ」と考えることもできますが、こういう問題が実力テストや模試に出ている場合、何の単元の問題で、何を利用したらいいかわからない高校生は多いと思います。
次方程式が与えられて、解がどうのこうのと言われたら、とりあえず解と係数の関係が使えるのではないか?と発想できるように、頭の引き出しにこの定理を入れておくと解けるようになります。
結局、定理が使える状態で頭に入っているかどうかなのだと思うのです。

さて、この2次方程式の2つの解をα、βとしましょう。
解と係数の関係より、
α+β=a-1 ・・・①
αβ=-2a ・・・②
また、「解の差の平方が17」なのですから、
(α-β)2=17 ・・・③
です。
文字が3通り、式が3本。
この連立方程式は、解けますね。
aの値を求めるのがこの問題でしたね。
解いてみましょう。
③より、
α2-2αβ+β2=17
(α+β)2-4αβ=17
これに①、②を代入して、
(a-1)2-4・(-2a)=17
a2-2a+1+8a=17
a2+6a-16=0
(a+8)(a-2)=0
a=-8、2
これが解答となります。


問題 2次方程式 4x2-2x+a=0 の解がsinθ、cosθであるとき、定数aの値を求めよ。

さて、三角比が登場しました。
今回の大人のための教室では、これには動揺が走り、ノートに直角三角形を描き出す人もいらっしゃいましたが、この問題は、そのような三角比の最初の定義に戻る必要はないのです。
ここでは、単にsinθ、cosθというのはある数値だと理解してくだされば大丈夫です。
その2つの数値が、与えられた2次方程式の2つの解です。
ところで、今回、x2の係数が4ですので、そこにも注意します。
解と係数の関係より、
sinθ+cosθ=1/2 ・・・①
sinθ・cosθ=a/4 ・・・②
ても、これだとわからない値がaを含めて3種類なのに、式は2本で、解けないですね。
もう1本、式が必要です。
ここで、三角比の相互関係の公式を思い出せれば、この問題は解けます。
(*^^)v
sin2θ+cos2θ=1 という式がありました。(2は指数です)

よし、解きましょう。
①を2乗して、
(sinθ+cosθ)2=1/4
sin2θ+2sinθ・cosθ+cos2θ=1/4
sin2θ+cos2θ+2sinθ・cosθ=1/4
三角比の相互関係の公式より、
1+2sinθ・cosθ=1/4
2sinθ・cosθ=-3/4
②を代入して、
2・a/4=-3/4
2a=-3
a=-3/2
答えが出ました。

さて、大人のための数学教室、年内の授業は今回が最後でした。
来年は、冬期講習終了後の、1月13日(土)が初回です。

次回の大人のための数学教室のお知らせです。
◎日時  1月13日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「複素数」を続けます。p.27の問題29までが宿題です。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします









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