たまりば

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2017年11月30日

三角比と測量の問題。図だけで問題を解くのはむしろ難しいです。




今回も、「三角比」の学習。
測量への利用です。




問題  図のように、高さ200mの山頂Pから東方にある地点Aを見たら、俯角が30°であった。また、東から南30°にある地点Bを見たら、俯角が45°であった。
2地点A、B間の距離を求めよ。

この問題は、まず問題の意味を理解できるかどうかが1つ目のハードルです。
こうやってネットに書いた場合、図の画像の粗さとネットの文字の読みにくさと、どちらがより強く影響するかという問題もあると思います。
しかし、これをテキストで見た場合、図を先に見るか活字を先に見るかは、その人の普段の傾向がそのまま表れるのではないでしょうか。
図の情報を優先する人と、文字情報を優先する人と。

高校生の中には、図しか見ない子がいます。
それではこの問題は解けないでしょう。
図の上のほうの点線と、それぞれの示す角度が何を意味しているのか、図だけではわからないです。
むしろ、問題文だけのほうがまだ情報を整理しやすいかもしれません。
ただ、それにはある程度の読解力が必要なのも事実です。
文字情報を頭の中で具体的なイメージにすることができないと、問題文だけでは理解しづらいと思います。
つまりは「ちゃんと両方見なさいよ」という当たり前の話なのですが、それができない高校生は意外に多いのです。

ここで言う読解力・イメージ力とは、上の問題文を読んだとき、イメージとして自分が山頂Pに立てるかどうか、です。
図を見る場合でも、自分がスモールライトを浴びて山頂Pに立つと、問題の構造が理解しやすくなると思いす。
これは中学3年生に理科の「天体」の授業をしているときもそう感じることです。
月の見え方や金星の見え方に関する問題は、図の中の地球に自分が立って月や金星がどう見えるかをイメージできれば易しいです。
しかし、それができず、外から地球を眺めているままですと、何でそう見えるのかうまく理解できません。

さあ、イメージします。
山頂Pに立ってみましょう。
標高200m。里の低山でしょうか。
埼玉県飯能の天覧山が標高197m。
寄居の羅漢山が標高247m。
毎日のお散歩コースにこのくらいの山があったらいいなあ。
それはともかく。
この山は、南面の見晴らしが良いようです。
だから、南を向いて立っています。
すると、東の方向俯角30°にA地点が見えました。
俯角というのは、水平から下に30°の角度で見えたということです。
ここで目を転じ、水平に30°南方向に目を向けると、今度は俯角45°にB地点が見えました。
さて、AB間の距離は?
という問題なのですね。

ここで、山頂PとAとBを結んで、△PABで解こうとしてしまうと間違えます。
∠APB=30° と誤解しそうですが、そうではないからなんです。
AとBの間が30°なのは水平での話で、斜めになると角度は変わります。
山頂Pの真下、標高0mの地点をHとしましょう。
△HABに着目すると、AB間の距離を求めることができます。

∠AHB=30° です。
AHの長さは?
これは△PHAに着目します。
30°、60°、90°の直角三角形ですね。
PHが200mなので、AHは200√3mです。
次に、BHの長さは?
これは△PHBに着目しましょう。
45°、45°、90°の直角三角形です。
PHが200mなので、BHも200mです。
これで、△HABにおいて2辺とその間の角がわかりました。
これならABの長さは計算で求められますね。

余弦定理より、
AB2=AH2+BH2-2・AH・BH・cos∠AHB
   =(200√3)2+2002-2・200√3・200・√3/2
   =40000・3+40000-40000・3
   =40000
AB>0より 
AB=200
よって答えは200mとなります。




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