たまりば

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2017年09月04日

9月16日(土)、大人のための数学教室を開きます。


9月2日(土)、大人のための数学教室を開きました。
今回もまずは「等式の証明」の続きから。

問題 a/b=c/d のとき、(a2+c2)/(b2+d2)=ac/bd であることを証明せよ。

前回よりも複雑になってきましたね。
与えられた式が分数のとき、例えばaについて解いても、その結果は分数になり、しかも文字が3種類残るので、左辺=右辺を示すことは難しそうだと見通せます。
こんなとき、別の文字kを登場させるというテクニックがあります。

a/b=c/d=k とおく。
すなわち、a=bk、c=dk。
これを代入して、
左辺=(b2k2+d2k2)/(b2+d2)
   =k2(b2+d2)/(b2+d2)
   =k2
右辺=bk・dk/bd
   =k2
よって、左辺=右辺

このテクニック、とても便利ですので、覚えておきたいですね。

問題 x/3=y/4=z/2‡0 のとき、(x-y)2/(y2+z2) の値を求めよ。
これも、与えられた式が分数ですね。
ということで、これもkを使ってみましょう。
x/3=y/4=z/2=k とおくと、
x=3k、y=4k、z=2k。
これを代入して、
与式=(3k-4k)2/(16k2+4k2)
   =k2/20k2
   =1/20

わあ、約分でkが消えて、式の値が出てきましたー。(^^♪
これは、やはり便利ですね。
こういうテクニックは、忘れた頃にまた別の単元で使うことになりますので、決して忘れないようにお願いいたします。

本日、学習はスラスラ進み、次の「不等式の証明」に入りました。
不等式は、左辺と右辺がお互い文字式のままでは、大小なんてわからないのではないかと思いますよね。
文字の値によって大小なんて違ってくるんじゃないの?
そんなものをどうしたら証明できるのでしょう。
勿論、個々の文字の値が何であるかによって大小が異なる場合がほとんどです。
証明できるものはごく一部です。
ただ、練習するのは、証明できるものだけなのです。
では、どんな場合に証明できるのか?

左辺-右辺≧0
を証明できれば、
左辺≧右辺 ですよね。
そして、左辺-右辺を何かの2乗の形にできるなら、それは0以上の数でしょう。
実数の場合、2乗すれば必ず0以上の数になりますから。
不等式は、これを用いて証明します。

問題 x4+y4≧x3y+xy3 を証明せよ。

左辺-右辺
=(x4+y4)-(x3y+xy3)
=x4+y4-x3y-xy3
項の順番を変えてみましょう。
=x4-x3y-xy3+y4
ここで、共通因数で括ります。
=x3(x-y)-y3(x-y)
( )の中身が共通因数となりましたので、さらに括れますね。
=(x-y)(x3-y3)
後半の( )の中身は、さらに因数分解できますね。
3乗の公式を使います。
=(x-y)(x-y)(x2+xy+y2)
=(x-y)2(x2+xy+y2)

さて、ここまで因数分解して、前半の(x-y)2は、2乗ですから、必ず0以上になりますね。
後半の x2+xy+y2 は、どうでしょうか。
これだけ、さらに平方完成してみましょう。
平方完成を覚えていますか?
数Ⅰの「2次関数」でやりましたね。
頂点の座標を求めるために式を変形する方法です。
xについての文字式と考えて平方完成しますので、yはxの係数として扱います。
x2+yx+y2
=(x+1/2y)2-1/4y2+y2
=(x+1/2y)2+3/4y2≧0
この式は、前半も後半も2乗の形になっています。
だから、どちらも0以上の数だとわかります。
0以上の数同士を足しても、0以上です。
よって、この式は、0以上です。

元の式に戻りましょう。
(x-y)2(x2+xy+y2)
これは、0以上の数と0以上の数の積であることがわかります。
よって、元の式も0以上です。
左辺-右辺≧0
左辺≧右辺

さて、≧のように、等号が含まれている不等式の場合、どんなときに等号が成り立つかを書き添えるのが慣例です。
(x-y)2{(x+1/2y)2+3/4y2}=0
は、どんなときに成立するでしょうか。
前半の( )または後半の{ }の中身が0ならば、積は0ですね。
よって、x-y=0 または、x+1/2y=0かつy=0
となります。
これを整理すると、
前半は、x=y ですね。
「または」の後のほうは、y=0をx+1/2y=0に代入すると、
x=0となり、よってx=y=0です。
これは、前半のx=yの1例と考えることができます。
よって、等号は、x=y のときに成り立ちます。

以上、今回はスラスラと2回分は進みましたので、欠席された方は、ここまで自習をお願いいたします。
次回は、相加平均≧相乗平均 の話をしましょう。

次回の数学教室のお知らせです。
◎日時  9月16日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「等式・不等式の証明」を続けます。p18から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。






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