たまりば

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2017年06月18日

7月1日(土)、大人のための数学教室を開きます。


6月17日(土)、大人のための数学教室を開きました。
今回は「多項式の除法」です。
中学数学でやっているような気がするのに、意外に一度もやっていないのが、多項式の除法です。

問題 (x3+3x2-5)÷(x-2) を計算し、商と余りを求めよ。
これは筆算していくことができます。
やり方、考え方は数字のわり算の筆算と同じです。

例えば、764÷6を筆算してみましょう。

6 )764

の7と6を見比べて、7の上に「1」という商が立つと判断します。
その後、1と6をかけたものを7の下に書いていき、そして7からそれを引きます。
   1
6 )764
   6  
   1

これと同じことをやっていきます。

x-2 )x3+3x2   -5

x3とxを見比べて、x3の上に「x2」という商が立つと判断します。
そのx2と「割る数」であるx-2とをかけたものを元の式に下に書いていきます。

    x2
x-2 )x3+3x2   -5
     x3-2x2

そして、元の式から、今書いたものを引いていきます。

    x2
x-2 )x3+3x2   -5
     x3-2x2
        5x2

次に、引き算の結果である「5x2」とx-2を見比べで、商を立てます。
「5x」という商が立ちます。
その5xとx-2をかけたものを下に書いていきます。
そして、上の行から下の行を引きます。

    x2+5x
x-2 )x3+3x2     -5
     x3-2x2
        5x2
        5x2-10x
            10x -5

次に、引き算の結果である「10x」とx-2を見比べて、商を立てます。
「10」という商が立ちます。
その10とx-2とをかけたものを下に書き、上の行から下の行を引きます。

    x2+5x  +10
x-2 )x3+3x2     -5
     x3-2x2
        5x2
        5x2-10x
            10x -5
            10x-20
                15

よって、商は x2+5x+10、余りは15です。

「本当にこんなやり方で割ったことになるの?」
「何でそれで答えが出るのか、意味がわからない」
という感想の多いところです。

そこで、ちょっと検算をしてみましょう。
わり算は、(割る数)×(商)+(余り)=(もとの数)
で検算することができるのでした。

(x-2)(x2+5x+10)+15
=x3+5x2+10x-2x2-10x-20+15
=x3+3x2-5

はい。
もとの式に戻りました。

やり方が理解できても、最初のうちはなかなか正答できない高校生は多いです。
ミスしやすい箇所としては、多項式の書き写し間違い。(特に指数と符号)
上の式の-5-(-20)のような箇所の計算ミス。
練習を重ねることで精度を上げていきましょう。

問題 (a3+2abc+b3-c3)÷(a+b-c) をaに着目して行い、商と余りを求めよ。

最初の問題との違いは、文字が1種類ではないこと。
「aに着目して」ということは、aについての文字式とみなし、他の文字は係数や定数項として扱いなさい、という意味です。
これは、筆算として書くときから順番を意識し、他の文字はaの係数や定数項であるとわかるようにしておくことで解きやすくなります。
aについて降べきの順に整理して書いてみましょう。

a+(b-c) )a3     +2bca+(b3-c3)

a3とaを見比べると、まずa2という商が立ちます。
その商と「割る数」であるa+(b-c)をかけていきます。

       a2
a+(b-c) )a3        +2bca+(b3-c3)
         a3+(b-c)a2 

上の行から下の行を引きます。
上から次に使う項も下ろしておきます。

       a2
a+(b-c) )a3        +2bca+(b3-c3)
         a3+(b-c)a2
          -(b-c)a2+2bca

ここでは、2次の項はもともと存在しなかったところから(b-c)a2を引くので、
0-(b-c)a2
=-(b-c)a2
となることに注意が必要です。
上からおろしてくる項は、あえて書けば、
2bca-0
=2bca
となりますので、符号は変わりません。
0から引くことと、0を引くこととは大違いですね。

次に-(b-c)a2とaを見比べて、-(b-c)aという商が立ちます。

       a2-(b-c)a
a+(b-c) )a3        +2bca+(b3-c3)
         a3+(b-c)a2
          -(b-c)a2+2bca
          -(b-c)a2-(b-c)2a

例によって、上の行から下の行を引くのですが、ちょっと複雑で引きにくいですね。
こういうときは、ノートの横の空欄などを利用して、そこの部分だけ計算すると良いでしょう。
係数だけのひき算をすれば良いですね。
すなわち、
2bc+(b-c)2
=2bc+b2-2bc+c2
=b2+c2

上から定数項も下ろしてくると、

       a2-(b-c)a
a+(b-c) )a3        +2bca+(b3-c3)
         a3+(b-c)a2 
          -(b-c)a2+2bca
          -(b-c)a2-(b-c)2a
                  (b2+c2)a+(b3-c3)

次の商は、(b2+c2) ですね。

       a2-(b-c)a +(b2+c2)
a+(b-c) )a3        +2bca   +(b3-c3)
         a3+(b-c)a2 
          -(b-c)a2+2bca
          -(b-c)a2-(b2+c2)a+(b3-c3)
                  (b2+c2)a+(b-c)(b2+c2)

最後の定数項のひき算も複雑ですね。
ノートの空いているスペースで計算しましょう。
(b3-c3)-(b-c)(b2+c2)
=b3-c3-(b3+bc2-b2C-c3)
=b3-c3-b3-bc2+b2C+c3
=-bc2+b2c

これが余りとなります、
よって、商は  a2-(b-c)a+(b2+c2)
となりますが、整理したほうが見た目がきれいですね。
( )を外しておきましょう。
従って、商 a2+b2+c2-ab+ca
    余り -bc2+b2c
となります。

この筆算は複雑ですが、この先、「分数式の計算」や「因数定理」を学習する際にまた利用しますので、必ず身につけておきましょう。
とはいえ、ネットでは罫線を引けないので、物凄く見にくいですね。
全体の板書が上の画像です。

さて、今回の授業はその次の「分数式の約分」に少し入りました。
次回はその次から進みます。

◎日時  7月1日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「整式と分数式」を続けます。p10問題22から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。







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