たまりば

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2017年06月04日

6月17日(土)、大人のための数学教室を開きます。


6月3日(土)、大人のための数学教室を開きました。
今回は、「多項定理」の学習です。
例えば、こんな問題です。

問題 (a+b+c)7の展開式におけるa3b2c2の係数を求めよ。

まずは、(a+b+c)7を逐一展開することをイメージしましょう。
考え方の基本は二項定理のときと同じです。
(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)
と書いてみるとよりわかりやすいですが、この7つの( )から文字を1つずつ選んでかけたものが、展開した際の1つ1つの項となります。

aaaaaaaすなわちa7は1度しか出てきませんので、係数は1だとすぐわかりますが、aaabbccすなわちa3b2c2は、何回も同じものが出てくるでしょう。
aaabbccだったり、aababccだったりと、文字の順番はそれぞれ違うでしょうが、まとめるとa3b2c2となることに変わりはない同類項です。
そしてそれの出てきた回数が、a3b2c2の係数となるでしょう。
それは、aaabbccを並べる順列の数と同じでしょう。
すなわち、ここでも用いるのは「同じものを含む順列」です。

「同じものを含む順列」の考え方は2通りあります。
前回は並んだ箱をイメージして、特定の文字を入れる箱をそこから選ぶという考え方を用いました。
今回は別の考え方を用いてみます。
aaabbccで言えば、まずは7つの文字の順列を単純に考えます。
すなわち、7P7=7!ですね。
しかし、これは、同じ文字を別のものとして数えています。
aについて考えれば、aの後ろに番号をつけて区別して、3つのa1,a2,a3をそれぞれ別の文字として数えていることになります。
しかし、表面的には、それらは同じ文字です。
a1,a2,b,a3,b,c,c も、
a2,a3,b,a1,b,c,c も、実質は同じ並べ方で、区別する必要がありません。
7!では、同じ並べ方を何度もかぶって計算していることになります。
どれだけかぶって計算しているでしょうか?

上の例で言えば、
〇〇b〇bcc
の〇の位置にaがあります。
その3つの〇にa1,a2,a3を並べる順列だけ、同じ並べ方を何度もかぶって計算しているでしょう。
すなわち、aに関しては、7!を3!で割ることで本当の順列の数が出てきます。

次に、bについてはどうでしょう。
これも同じで、2つのbの位置にどちらのbを入れても実質は同じなので、bの並べ方だけかぶって計算していますから、2!で割ることで本当の順列の数が出てきます。
最後のcについても同様に、2!で割ることで本当の順列の数が出てきます。
すなわち、7!/(3!2!2!)をすることで、正しい順列の数が導かれます。
7!/(3!2!2!)
=(7・6・5・4・3・2・1)/(3・2・1・2・1・2・1)
=7・6・5
=210
これがa3b2c2の係数です。


「前回のようなCを使った求め方はできないんですか」
という質問が授業中にありましたので、そちらも解説しました。
上の問題で言えば、まず7つの並んだ箱をイメージします。
その7つから、aを入れる3つの箱を選びます。
すなわち、7C3です。
次に、残った4つ箱からbを入れる箱を選びます。
これは、4C2です。
上の2つは積の関係が成り立ちますから、
7C3・4C2で全体の数を求めることができます。
ここで、残った2つの箱には自動的にcが入ります。
だから計算しなくても良いのですが、2つの箱から2つを選ぶ、すなわち2C2をやるとしても、同じ結果になります。
2C2=1です。
それをあえて書くと、
7C3・4C2・2C2
=(7・6・5/3・2・1)×(4・3/2・1)×(2・1/2・1)
分数で表記するとよりわかりやすいと思いますが、これは上の解き方の、
(7・6・5・4・3・2・1)/(3・2・1・2・1・2・1)
と全く同じ式です。
結局、この2つは同じ解き方なのです。

だとしたら、上の解き方のほうが、簡単に立式できますね。
7!/3!2!2!
の分子の「7」はどこから来た数字かというと、(a+b+c)7の「7」です。
分母の3!2!2!の「3」「2」「2」は何の数字かというと、a3b2c2という項のそれぞれの文字の指数です。
与えられた式の指数と求める項の指数を見ただけでささっと立式できます。
これが多項定理です。

別の問題も解いてみましょう。
問題 (a-b+2c)7 の展開式におけるa2b3c2の係数を求めよ。

まず、7!/(2!3!2!)ですが、これだけではありません。
それぞれの項に1以外の係数がありますので、それも考えます。
bの係数は-1ですので、(-1)3をかけることが必要です。
cの係数は2ですので、22もかけなければなりません。
したがって、
7!/(2!3!2!)・(-1)3・22
=-210・4
=-840
これが答えとなります。

さて、今回ご参加は1名様で、スルスルと授業が進み、予定していなかった「多項式÷多項式」に入りました。
次回は、その確認から入ります。


◎日時  6月17日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「整式と分数式」を続けます。p8「多項式のわり算」から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。










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