たまりば

  地域と私・始めの一歩塾 地域と私・始めの一歩塾  三鷹市 三鷹市

2017年05月25日

6月3日(土)、大人のための数学教室を開きます。


5月20日(土)、大人のための数学教室を開きました。
前回と同じく「二項定理」の学習です。
二項定理は、例えば、(a+b)5などを展開していく際に用いる定理ですが、全て展開するのではなく、必要な項の係数だけを求めることもできます。
例えば、こんな問題です。

例題 (x+2)6 を展開したときの、x3の係数を求めよ。

全て展開していくのだとしたら、二項定理を用いて、以下のようになります。
(x+2)6
=6C0x6+6C1x5・2+6C2x4・22+6C3x3・23+6C4x2・24+6C5x・25+6C6・26
=X6+12x5+30x4+160x3+240x2+192x+64
前回も解説した通り、xの6乗の項は、6個の(x+2)から全てxを選んでかけている項です。
それは1通りしかありませんので、係数は1です。
xの5乗の項は、6個の(x+2)から5個のxと1個の2を選んでかけている項です。
それは、xxxxx2を並べる順列と同じ個数だけ同類項があります。
同じものを含む順列の考え方を用いて、6C1=6。
係数としては、2も係数となりますので、6×2=12となります。
xの4乗の項は、6個の(x+2)から4個のxと2個の2を選んでかけている項。
それは、xxxx2・2を並べる順列と同じ個数だけあります。
同じものを含む順列の考え方を用いて、6C2=15。
2・2も係数となりますので、15×4=60。
この辺で法則が見えてきたと思います。

例えば、6C2の「6」は、(x+2)6の「6」です。
6C2の「2」は、(x+2)の2を「2個」選んでいることを示します。
それはxを6-2=4(個)選んでいるということでもあります。

では、問題のx3の係数はどう求めることができるでしょうか。
x3ということは、6個の(x+2)から、xを3個選んだということ。
それは、2のほうを6-3=3(個)選んだということです。
すなわちx・x・x・2・2・2の並べ方だけ、同類項が存在します。
6C3=(6・5・4)÷(3・2・1)=20。
2の3乗も係数となりますから、20×23=160。
答えは、160となります。

二項定理は、2項のうちの前の項、(x+2)で言えばxの項を初めは6回かける項、次はxを5回2を1回かける項というように、前の項を1個ずつ減らし、後の項を1個ずつ増やしていく形をとっています。
最後は、全て後の項、(x+2)で言えば2を6回かけて終わります。
二項定理の一般項は、nやrやn-rといった文字を用いるためか、それで混乱する高校生がいるのですが、全体の流れを把握することで一般項の意味を理解するとよいと思います。

もう少し解いてみましょう。
例題 (2x-3y)7 を展開したときのx4y3の係数を求めよ。

xの項もyの項もそれぞれ1以外の係数がついているのに注意する必要がありますね。
それらも全て項全体の係数に含まれていきます。
x4y3の項ですから、7個の( )から、xを4回yを3回選んでかけます。
すなわち、7C3。
それに、xの係数である2の4乗、yの係数である(-3)の3乗も係数となります。
7C3・24・(-3)3
=(7・6・5)÷(3・2・1)×16×(-27)
=-15120
これが答えです。


さて、ここからは応用です。
易しい教科書や問題集には載っていない問題です。
考えてみましょう。
例題(3x2+x)8 を展開したときの x10の係数を求めよ。
( )内のどちらの項にもxが含まれています。
どんなときにx10になるのでしょうか?

3x2をp回、xをq回かけた項がxの10乗の項であるとします。
( )は全部で8個ですから、
p+q=8・・・・➀ となります。
また、x10という結果になることを踏まえると、指数法則から、
2p+q=10・・・② となります。
➀・②を連立して解くと、
p=2、q=6
よって、3x2を2回、xを6回かけた項がxの10乗の項であるとわかります。
あとは、二項定理にあてはめて、係数は、
8C6・32・16
=(8・7)÷(2・1)×9
=4・7・9
=252
これが答えです。

さらにこのような問題はどうでしょうか。
例題 (x2+1/x)10 を展開したときのx11の係数を求めよ。

後の項は分母にxがある分数なので、前の項とかけると、約分されてxの次数は減ってしまいます。
x2をp回、1/xをq回かけるとすると、
p+q=10 ・・・➀ であるのは今までの問題と変わりませんが、
xの指数はたし算ではなくなります。
約分されて減りますから、
2p-q=11 ・・・② となります。
➀、②を連立して、
3p=21、すなわちp=7、q=3 です。
x2を7回、1/xを3回かけた項がxの11乗となることがわかりました。
二項定理より、
10C3=(10・9・8)÷(3・2・1)=10・3・4=120
係数は120です。

二項定理だけでなく、指数法則の理解が必要なので、こうした問題は易しい教科書や問題集からは除外されているのでしょう。
使っている指数法則自体は中学校で学んでいる内容なのですが、pとかqとか抽象化されると「全くわからない」と言う高校生は多いのです。
しかし、この先「指数関数」を学習した後に受験勉強で解き直すと、案外簡単に理解できることがあります。
さて、次回の数学教室のお知らせです。

◎日時  6月3日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「整式と分数式」を続けます。p7「二項定理を用いた証明」から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。








  • 同じカテゴリー(大人のための講座)の記事画像
    10月28日(土)、大人のための数学教室を開きます。
    10月14日(土)、大人のための数学教室を開きます。
    9月30日(土)、大人のための数学教室を開きます。
    9月16日(土)、大人のための数学教室を開きます。
    9月2日(土)、大人のための数学教室を開きます。
    8月19日(土)、大人のための数学教室を開きます。
    同じカテゴリー(大人のための講座)の記事
     10月28日(土)、大人のための数学教室を開きます。 (2017-10-15 15:48)
     10月14日(土)、大人のための数学教室を開きます。 (2017-10-03 15:29)
     9月30日(土)、大人のための数学教室を開きます。 (2017-09-17 13:03)
     9月16日(土)、大人のための数学教室を開きます。 (2017-09-04 14:37)
     9月2日(土)、大人のための数学教室を開きます。 (2017-08-19 15:07)
     8月19日(土)、大人のための数学教室を開きます。 (2017-07-29 14:53)

    ※このブログではブログの持ち主が承認した後、コメントが反映される設定です。
    上の画像に書かれている文字を入力して下さい
     
    <ご注意>
    書き込まれた内容は公開され、ブログの持ち主だけが削除できます。

    削除
    6月3日(土)、大人のための数学教室を開きます。
      コメント(0)