たまりば

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2017年05月07日

5月20日(土)、大人のための数学教室を開きます。


5月6日(土)、大人のための数学教室を開きました。
数Ⅱの学習に入り、まずは3次式の展開、そして3次式の因数分解と学習しました。
今回は、4次以上の式の展開に進みます。

例題 (a+b)4 を展開しなさい。

これは「二項定理」を用いて解いていくのですが、「二項定理」を理解し活用するためには、数Aで学習した「同じものを含む順列」という学習内容が身についていることが必要です。
そして、「同じものを含む順列」を理解するためには、「組合せ」の基本を理解していることが前提となります。
前回の3次式の因数分解でもそうでしたが、数Ⅰ・数Aの学習内容が身についていないと、新しい定理や新しい学習内容が理解できない場合がこの先もどんどん増えていきます。

高校生への授業でも、「二項定理」を説明していく過程で、生徒が「同じものを含む順列」や「組合せ」を理解していないことに気づき、それらの復習に入ることがあります。
しかし、そこへ路線変更されたのが理解できなかったのか、「二項定理」と「同じものを含む順列」の説明を混同し、余計に混乱してしまう子もいます。
説明する側はきちんと路線変更したつもりでも脱線事故が起こりやすいところです。

ですので、行き詰ってから復習に入るのではなく、今回、まず基本から順番に復習しておきましょう。

数A「場合の数と確率」の中で、まずは「順列」を学習しました。

例題 a、b、c、dから3つを選んで順番に並べる方法は何通りあるか。

これが「順列」です。
樹形図をイメージして考えていけば良いですね。
一番目にくる候補は4通り。
2番目は、そのそれぞれから樹形図の枝が3通りに広がります。
3番目は、さらにそこから2通りに広がっていきます。
したがって、式は、4×3×2=24
これを4P3=4・3・2=24
と表します。
答は24通りです。
したがって、順列の一般式は、
nPr=n(n-1)(n-2)・・・・(n-r+1)
となります。
最後の(n-r+1)の意味がよくわからないという生徒がときどきいますが、要するに、nから順番に1ずつ小さくなる数を全部でr個かけていくということです。
上の4P3ならば、4から始めて、4・3・2と全部で3つの数をかけました。

それに対して「組合せ」は順番は関係ない選び方です。
例題 a、b、c、dから3つを選ぶ方法は何通りあるか。
3つ選ぶだけなので、順番は関係ないですね。
abcという選び方も、acbという選び方も、同じ選び方です。
順番が関係ないことが「順列」との違いです。
ですから、上の4P3の計算方法では、同じ選び方を何回もダブって数えてしまうことになります。
具体的には、どれくらいダブって数えているのか。
abcを例にとれば、そのabc3つの並べ方だけダブって数えているでしょう。
abc、acb、bac、bca、cab、cbaの6通りです。
この計算方法は、3つから3つを選んで並べる順列です。
すなわち3P3=3・2・1=6 です。
よって、組合せは、上の4P3を3P3で割れば求められます。
(4・3・2)÷(3・2・1)=4
答えは4通りです。
一般式としては、
nCr=nPr÷rPrですね。

「組合せ」の基本の復習が終わったところで、次は「同じものが含まれる順列」の復習に進みます。
例題 a、a、a、b、bの5文字の並べ方は何通りあるか。
これは、普通の順列5P5ではダメですね。
普通の順列の計算では、3個あるaや2個あるbをそれぞれ区別して並べてしまうことになりますが、見た目が同じものは、同じ並べ方です。
このaとあのaは実は違うと言われても、見た目が同じですから、同じ並べ方として数えるしかありません。
5P5では、同じ並べ方を何回もダブって数えてしまうことになります。

では、どうするか?
同じものが含まれる順列は、これらの文字を入れる箱をまずイメージします。
5個の箱が横に並んでいます。
その箱のどれにa3個を入れるかを考えます。
残る2個の箱には自動的にbが入ります。
3個の箱の選び方で、上の5文字の並べ方を求めることができます。
すなわち、5C3=(5・4・3)÷(3・2・1)=10
答えは10通りです。
ちなみに、bを入れる箱2個を選んでも同じ結果となります。
5C3=5C2です。
5C2=(5・4)÷(2・1)=10
同じですね。

さて、以上で復習が終わりました。
いよいよ、ここから一番上の問題を解いていきますよー。

例題 (a+b)4 を展開しなさい。

( )を全て書いていけば、
(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
となります。
これを公式などを使わず、逐一展開していくと、
=aaaa+aaab+aaba+aabb+abaa+abab+abba+abbb+baaa+baab+baba+babb+bbaa+bbab+bbba+bbbb
同類項をまとめて、
=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
となります。
( )の中の文字aとbのどちらか1つを選んで4つ並べていくことで1つの項が形成されるのをご理解いただけるでしょうか。
これを、このように逐一展開するのではなく、計算で解いていく方法はないでしょうか。

aaaaすなわちa4という項は1つしかないことは逐一展開しなくても予想がつくでしょう。
aaab、すなわちa3bは、逐一展開する中で何回か同じものが出てくるでしょう。
それは、何回出てくるのでしょうか?
その回数がa3bの係数となるでしょう。
その計算方法はないでしょうか?
それは、aaabの4文字の並べ方と同じ数ではないでしょうか。
何番目の( )からbを選んだかの数と同じという言い方もできます。
「同じものを含む順列」の考え方をここで利用できます。
aaabの4文字を並べる順列。
4C1=4です。

次に、aabb、すなわちa2b2の係数はどうなるでしょう。
aabbの4文字を並べる順列の数と同じでしょう。
すなわち、4C2=(4・3)÷(2・1)=6です。

abbb、すなわちab3の係数はどうでしょう。
abbbの4文字を並べる順列の数と同じでしょう。
すなわち、4C3=4C1=4です。

最後にbbbb、すなわちb4は、1回しか出てこないとすぐに判断できますが、これも組合せの考えを使うならば、
4C4=1とみなすことができます。
ならば、最初のaaaaすなわちa4の係数も、4C0=1とみなすことができますね。
bを1回も選ばないということです。

よって、
(a+b)4
=4C0a4+4C1a3b+4C2a2b2+4C3ab3+4C4b4
=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

逐一展開したときと同じ結果になりました。ヽ(^。^)ノ

これを一般化したものが「二項定理」です。
二項定理をここに書こうかと思いましたが、上の式でも読みにくいのに、nだのrだと文字ばかりになると最悪の読みにくさなので、興味のある方は検索してみてください。

さて、今回ご参加は一名様でした。
今回ご参加の方から次回欠席のご連絡をいただきましたので、この「二項定理」の説明を次回もやろうと思います。
数A「組合せ」の基本と「同じものを含む順列」を復習し、「二項定理」の理解に集中できる状態にしておいていただけますと、スムーズでしょう。

◎日時  5月20日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「整式と分数式」を続けます。p6「二項定理」から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。









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