たまりば

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2017年04月26日

5月6日(土)、大人のための数学教室を開きます。


4月22日(土)、大人のための数学教室を開きました。
本日は数Ⅱの2回目。「3次式の因数分解」の授業を行いました。
まずは公式通りに代入すれば正解に至る問題を練習した後、少し応用問題に入りました。
例えば、こんな問題です。

問題 x6-64 を因数分解しなさい。

シンプルに見えて、これが意外に難しかったようです。

3次式の因数分解の公式にこういうものがあります。
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
直前まで、この公式を使うための基本練習をしていますから、当然それに引きずられます。

xの6乗は、xの2乗の3乗。
64は、4の3乗。
ということは、
x6-64
=(x2-4)(x4+4x2+16)
=(x+2)(x-2)(x4+4x2+16)
よし、できたー。ヽ(^。^)ノ
と思ってしまうのですね。
しかし、これは正解ではありません。

x4+4x2+16 は、さらに因数分解できます。
数Ⅰで学習しました。
複2次式の因数分解というものです。
x4+4x2+16
=x4+8x2+16-4x2
=(x2+4)2-(2x)2
=(x2+4+2x)(x2+4-2x)
=(x2+2x+4)(x2-2x+4)
平方完成の考え方を利用する解き方です。
存在しないものをあえて足し、その後同じものを引いて辻褄をあわせます。
そんなことをしていいの?とキョトキョトする高校生もいます。
そのときは理解できても、定期テストが終わると、もう忘れてしまう子も多いです。

子どもは天性の陽気さを持ち、楽天的で、接していてそれに助けられることは多いのですが、
「数ⅠAくらいは大丈夫だから」
と言う子もいて、ちょっと困ってしまうこともあります。
定期テスト以降、一度も復習らしいことをしていないのに、どうして大丈夫だと思うのでしょう。
数Ⅱの学習になると、数Ⅰとは段違いの難しさにびっくりして、理系に行くつもりだった子も諦めて文系に進路変更することがありますが、数Ⅱが難しいというよりも、数Ⅰの学習内容が身についていないから数Ⅱがわからない場合は多いです。
今回のこの因数分解の問題もそうですね。

それにしても、この問題、本当にこんなに難しい解き方しかないのでしょうか?
実は、もっと易しいやり方があるのです。

x6-64
=(x3+8)(x3-8)
=(x+2)(x2-2x+4)(x-2)(x2+2x+4)

中3で学習した2次式の因数分解の公式、a2-b2=(a+b)(a-b)をまず利用します。
その後、3次式の因数分解の公式を利用すると、このように簡単に解いていくことができます。
3次式の因数分解を勉強したのだから、3次式の公式だけを使うのだ。
そういうふうに視野が狭くなっていると、一番上の解き方しか発想できません。
とにかく視野を広くして、これまで学習したことは全て使うのだと思って解いていくと、楽な解き方を発想できると思います。

続いて、「3次式の展開公式の利用」。
こんな問題です。
x+1/x=3のとき、x3+1/x3の値を求めよ。

対称式の値に関する問題です。
これも基本は数Ⅰで学習済みです。

しかし、基本対称式は、和と積と2本の式があるはずなのに、この問題は和の式しかない。これじゃ、解けないよ。

こういうふうに考えてしまう子は、x・1/x=1 となることに気づいていないのです。
何年か前、数学が苦手な男子高校生とこんな会話を交わしたことがあります。
「x・1/x=1になるんですよ」
「何でですか」
「約分すると、そうなりますよ」
「どうしてですか」
「分母のxと分子のxを約分すると、1になるでしょう?」
「でも、xって、何の数かわからないじゃないですか」
「・・・・え?」
「何の数かわからないのに、約分していいんですか」
xが0の場合はダメなのですが、今回はそうではないし、その話をすると余計に混乱しそうです。
「・・・・いいですよ。分母のxが例えば8なら、分子のxも8なのだから、約分できるじゃないですか」
「xが8って、何でわかるんですか」
「『例えば』と言いましたよ。8でも7でも、分母のxと分子のxは同じ数ですから、約分できますよ」
「分母のxが8で、分子のxが7だったら、どうするんですか」
「そういうことはないから、大丈夫ですよ」
「何で大丈夫だってわかるんですか」

・・・・うーん、これは厄介だ。
数学が苦手な子の頭の中で、「変数x」は、こんなにも不安定なものなのだなあと感じました。
数Ⅰの復習云々ではなく、小学校の「関係をあらわす式」のあたりから、もうxとyに不信感があり、理解したふりで理解できずに高校生になってしまったのだろうと思います。
方程式のときはxの値が定まったり。
関数になると定まらなかったり。
数学がわからない子は、このあたりが特に混沌としているのかもしれません。
この子は、中学生の頃はほとんど無言で何を考えているのかよくわからない子でした。
勉強全体が苦手なのだけれど、何がどうわからないのか語ることもありませんでした。
高校生になって遅い反抗期が来た様子で、ふいに饒舌になり、今まで不信を抱いていたことを語るようになりました。
喧嘩ごしのことも多く、対応が大変でしたが、ああ、こういうことがわからないのかと知る機会があったのを懐かしく思い出します。

ともかく、上の問題を解いてみましょう。
x+1/x=3 のときのx3+1/x3の値です。
これは、この公式を利用します。
a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)
何でそうなるというほどのものではなく、右辺を展開すれば左辺になりますね。
対称式の値を求めるために作られた公式です。
a2+b2=(a+b)2-2ab
の3次式版、といったところです。

x3+1/x3
=(x+1/x)3-3x・1/x(x+1/x)
=33-3・1・3
=27-9
=18

さて、次回の大人のための数学教室のお知らせです。

◎日時  5月6日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「整式と分数式」の学習を続けます。p5「3次式の展開公式の利用」大問8 から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。








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