たまりば

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2017年04月07日

絶対値の難しさ


絶対値は、中学1年の最初の単元、「正負の数」で学習する内容です。
しかし、正しく把握している子はわずかです。
「絶対値って何だっけ?」
と質問したときに、多くの中学生はこう答えます。
「数字の符号のないやつ」
まあ、何も答えられないよりは、そんなことでも答えられるほうがずっといいのですが。

絶対値の定義はこうです。
「数直線上の原点からの距離をその数の絶対値という」
距離は負の数ではないので、だから、絶対値は全て正の数です。

この説明で覚醒し、目を輝かせる子もいるのですが、「数直線」と聞くとむしろ顔が曇る子も多いです。
「数直線、嫌い」
と言うのですが、何で数直線がそんなに嫌いなのかは謎です。

1つには、小学校で学習する線分図と混同しているせいかもしれません。
受験算数の線分図は洗練されたわかりやすいものですが、小学校の教科書に載っている「線分図もどき」は、わかりやすいことをむしろわかりにくくしているような印象があり、私もあまり好きではありません。
あんな図を使わなくても解けますし。
数量を線の長さで表すというのは1つの抽象化で、その仕組みが一度で理解できれば理解の助けになるでしょうが、そうでない場合、問題の数量関係を理解するためにさらにハードルを上げるだけの結果になりかちです。

受験算数の線分図は、挿絵ではなく、あれが解き方そのものです。
線分図を使わなければ解けない問題で線分図を使うことで、初めてその良さがわかるものです。
そうでなければ、良さがわからないのは仕方ないことだと思います。

しかし、数直線はそもそも線分図とは関係ありません。
数直線は、むしろ、関数と関係の深いものです。
数直線は、関数のx軸だけが描かれているものと考えることができます。

高校生になると、その学校の学力レベルによっては、絶対値の学習は省略します。
絶対値を含む方程式・不等式。
絶対値を含む関数とそのグラフ。
易しい内容だけを学習する高校は、それらは全て省略することがあります。
どれだけかみくだいて説明しても、理解できる可能性は少ない。
そういう判断だと思います。

根本の単純な話で言えば、
a<0のとき、0<-a 
これが理解できないことが、絶対値の理解を阻む主な要因でしょう。
こんな書き方もできます。
a<0のとき、a<-a
これに対し、
「え?」「え?」「え?」
と全員がなってしまうと予想される場合、この学習内容は省略しますよね・・・。
-aは、負の符号がついているから、負の数だ。
そんなことを言い張る高校生と30分話し合い、どうにも解決がつかなかったことが私にもあります。

そういう混乱の芽は中1の頃からあります。
a+b、a-b、abなどの値の正負から、aの正負、bの正負を判定していく問題があります。
その中で、aが負の数だとわかると、「-a」とメモする中学生がときどきいます。
「それは違うよ。aが負の数なら、-aは正の数になるんだよ」
と説明しても、直さない子がいます。
「でも、こう書いたほうがわかりやすい」
「文字自体に符号が含まれているんだよ」
「わかってる」
「わかっていたら、そういう書き方はしないよ」
「大丈夫」
こんな会話を交わした子が何人かいましたが、どの子も、高校生になると数学がどんどんわからなくなっていきました。

文字が数を表すことにそもそも違和感があり、その文字が符号を含んでいることには思い至らないのかもしれません。
符号と計算記号との関係が理解できていないため、全ての数字が符号を含んでいるのだと理解できていない場合もあるでしょう。
理由はいろいろ考えられますが、小学校の算数から中学の数学への移行がスムーズに行かなかったことが原因となっている子は多いです。
素質のある子が思いがけない誤解をしている場合があります。
中学数学の最初は特に丁寧に勉強を見てあげてください。



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