たまりば

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2017年02月24日

3月4日(土)、大人のための数学教室を開きます。



画像は、雲取山荘の部屋です。
豆炭こたつ、暖かかったなあ。

さて、2月18日(土)、大人のための数学教室を開きました。
「不定方程式」の学習も今回が最後です。
今回学習したのは、こんな問題でした。

問題 方程式x3+y3-2x2y=1を満たす整数の組(x,y)をすべて求めよ。

わあ今度は3次式ですね。
でも、これも、(  )(  )=整数 という形に整理できたら、解けそうです。
ですから、まず、(  )(  )でくくるという、因数分解のようなことをすれば良いとわかります。
定数項は外にはみ出していいけれど、文字を含む項だけは必ず(  )(  )の中に収めることが目標です。
まずは、xについて降べきの順に整理してみましょう。
x3-2yx2+y3=1
共通因数でくくって、
x2(x-2y)+y3=1
しかし、これでは、この先が手詰まりとなるのは目に見えています。
係数のバランスが悪いんですね。
係数が揃っていたら、もう少し何とかなりそうです。
何となく見た目から、(x-y)という共通因数がありそうな気がするのですが、どうしたら、それが出てくるでしょう。
だったら、
(x3-x2y)+(y3-x2y)=1
と分けてみたらどうでしょう。
全ての項の係数が1または-1に揃いました。
これはいけそうです。
x2(x-y)+y(y2-x2)=1
x2(x-y)-y(x2-y2)=1
x2(x-y)-y(x+y)(x-y)=1
(x-y){x2-y(x+y)}=1
(x-y)(x2-xy-y2)=1

今回難しかったのは、ここの因数分解です。
ある文字について降べきの順に整理していくのが因数分解の定石ですが、これはその定石では解けない種類の因数分解です。
こういう特別なやり方を何もないところから初めて発想するには、この1問を何日も考え続けることが必要になります。
何日も何日も考えて、それでも思いつかないかもしれません。
しかし、考え続けることで数学の力は伸びていきます。
ただ、それをするには、少なくとも定石通りの因数分解なら自在に解けるほどには練習を重ねている必要があります。
そうでないと、そもそも何をどう考えるかもわからないのは仕方のないことです。

思考錯誤を重ねることを厭わないことも必要です。
これは正しい解き方だと確信してから答案を書きたい、ノートを汚したくないという姿勢では、正解は見つかりません。

長い時間考えて、今の自分には解けないと見切りがついたら、解答・解説を見て、そのテクニックをしっかり学びとり、2度と忘れないことも大切です。
別の機会に必ずこれを活用できるように覚えておきましょう。

さて話を戻して。
(x-y)(x2-xy-y2)=1
と、ここまで整理できたら、その後はどうするのか。
初めて見る応用問題になると、何のためのこれをやったのか、途中で目的を見失って、その後どうしたら良いのかわからなくなることがあります。
作業過程が長いからでしょう。

今回は、何のためにこんなことをしたのでしたっけ?
xとyの整数値を出したかったからでした。
前回解いたような問題では、例えば、
(x-3)(y+2)=1となったら、(x-3,y+2)=(1,1),(-1,-1)
として、
(x,y)=(4,-1),(2,-3)と求めるのでした。

だったら今回は、
(x-y)(x2-xy-y2)=1
(x-y,x2-xy-y2)=(1,1),(-1,-1)とします。
この2通りのそれぞれを解けば良いです。
すなわち、
x-y=1・・・➀
x2-xy-y2=1・・・➁
という連立方程式と
x-y=-1・・・➂
x2-xy-y2=-1・・・④
という連立方程式をそれぞれ解きます。

上のほうの連立方程式ですと、
➀を移項して、
x=y+1・・・➀'
これを②に代入して、
(y+1)2-(y+1)y-y2=1
y2+2y+1-y2-y-y2=1
-y2+y=0
y2-y=0
y(y-1)=0
y=0,1
これを➀'に代入して、
y=0のとき、x=1
y=-1のとき、x=0
同様に➂、④を解いて、
y=-2のときx=-3
y=1のときx=0
したがって、
(x,y)=(1,0),(2,1),(-3,-2),(0,1)
となります。

さて、東日本大震災の起こった3月11日が今年も近づいてきました。
次回の皆さまの受講料は「みちのく未来基金」に寄付させていただきます。
ご参加お待ちしております。

◎日時  3月4日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p111「n進法」の大問2から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。








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