たまりば

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2017年01月29日

2月18日(土)、大人のための数学教室を開きます。


1月28日(土)、大人のための数学教室を開きました。
なおも「不定方程式」の学習は続きます。
今回はこんな問題です。

問題 方程式 xy-x+3y-12=0 を満たす整数の組(x,y)の値を全て求めよ。

この問題が今までと違うのは、xyという2次の項が含まれていること。
これでは、前回のように、
◇x+△y=◎
といった形に整理するのは無理ですね。
でも、因数分解して、
(x+◇)(y+△)=◎
という形にすることはできるんじゃないでしょうか。
それができれば、整数の組を見つけることができそうです。
だから、まず因数分解のようなことをしてみます。
定数項ははみだして構わないので、完全な因数分解ではありません。

xy-x+3y-12=0
前の2つの項の共通因数はxなので、とりあえず2つだけをくくってみます。
x(y-1)+3y-12=0
因数分解の学習のときもそうでしたが、ここで最初の共通因数であるxにばかり目がいって、
「もう残りの項にxがない!因数分解できない!」
と嘆く高校生がいます。
しかし、この先の共通因数はxではありません。
( )の中身のほうが全体の共通因数です。
後半の項を(y-1)が共通因数となるようにくくることが次の目標となります。
x(y-1)+3(y-1)
このように、まずは強引に(y-1)を書いてしまいます。
しかし、3(y-1)は、展開すれば3y-3です。
-3という項は、この式に存在しません。
だから、辻褄をあわせるために、その後に+3をします。
すなわち、
x(y-1)+3(y-1)+3-12=0
x(y-1)+3(y-1)-9=0
x(y-1)+3(y-1)=9
共通因数(y-1)でくくります。
(y-1)(x+3)=9
順番を整えます。
(x+3)(y-1)=9

実際の答案では、ここまで丁寧に書くことはなく、互いに影響しあわない作業については1行の中で処理していくのが普通ですが、あまり省略し過ぎると計算ミス・符号ミスをしやすいですので、自分の中の「安全速度」を守って作業していくことが大切です。
それは、前回解説したような、問題を短時間で解く上で必要な作業の省略とは別の次元のことです。

さて、
(x+3)(y-1)=9
まで式を整理できたら、あとは楽勝ですね。
x、yは整数ですから、x+3、y-1も整数です。
整数×整数が9になる場合は限られています。
(x+3,y-1)=(1,9),(3,3),(9,1),(-1,-9),(-3,-3),(-9,-1)
よって、
(x,y)=(-2,10),(0,4),(6,2),(-4,-8),(-6,-2),(-12,0)

xとyとを同時に計算していくと煩雑なので、先にxだけ計算していくことをお勧めします。
x+3の値からxを出すには、-3をすれば良いだけです。
単純に、-3した数値を書き込んでいきます。
y-1の値からyの値を出すには、+1をします。
そうした単純作業に置き換えることで、暗算しやすくします。
これは問題を短時間で処理するために必要な作業の省略です。
複雑なことをわざわざ暗算し、時間もかかってミスも出やすいのとは別のことです。
数Ⅱに進むと、そうしたことがさらに増えていきます。

さて、次回の数学教室のご案内です。
次回は、祝日を挟みますので、3週間後となります。

◎日時  2月18日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p109の問題27までが宿題です。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。




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