たまりば

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2016年12月15日

1月14日(土)、大人のための数学教室を開きます。




12月10日(土)、大人のための数学教室を開きました。
「不定方程式」もあと少しで終わり。
今回は、こんな問題です。

例題 方程式 3x+7y=71 を満たす自然数の組(x , y)を全て求めよ。

この問題が今までと異なるのは、求める解が「整数」ではなく、「自然数」であること。
自然数とは、1、2、3、4、・・・・といった、正の整数のことです。
xもyも自然数でなければならないとなると、これは無数にあるわけではなさそうです。
どちらかが負の整数であるものは解ではないからです。
だから、こういう問題は、具体的な解を全てあげて答えます。

まずは、いつも通りの不定方程式の解き方で計算していきます。
x、yの具体的な解を1組、見つけましょう。
係数の大きいyから、y=1、y=2と代入していくと、x=19、y=2が見つかりますね。
したがって、
3・19+7・2=71 ・・・・➁
与式を➀として、①-➁をすると、
3(x-19)+7(y-2)=0
移項して、
3(x-19)=-7(y-2)
3と7は互いに素だから、
x-19=7k (kは整数)
x=7k+19 ・・・➂
y-2=-3k
y=-3k+2 ・・・④
という整数解がまず見つかります。

ここからが今までと異なります。
x、yは自然数なので、1≦x、1≦yですから、
➂に代入すると、
1≦7k+19
7k+19≧1
7k≧-18
k≧-18/7
④に代入すると、
1≦-3k+2
3k≦1
k≦1/3

よって、-18/7≦k≦1/3
kは整数だから
k=-2、-1、0
これを➂、④に代入して、
(x、y)=(5 , 8),(12 , 5),(19 , 2)

x=7k+19 ですので、1つめの x=5 を計算したら、あとは7ずつ増やしていくと求める時間を短縮できます。
yも同様です。
y=-3k+2 ですから、最初は計算で y=8 を出した後は、3ずつ減らしていくとよいでしょう。
今回は解が3組だけでしたが、15組くらいあっても全部書いていきますので、計算時間の短縮は重要です。
計算の工夫ですね。

今回の期末テストを見ると、計算でもたつき、時間がかかってテストを最後まで解くことができなかった生徒が何人かいました。
計算スピードが遅い生徒を見ていると、手が止まって考え込んでいる時間が長いのが特徴です。
立式を考えているのではありません。
式が立った後、計算で手が止まって考え込んでいるんです。
何をしているのかというと、暗算をしているんです。
暗算は、本人は速く解けるつもりでいても、傍らから見ていると不可解なほどに長い時間がかかっていることがあります。
「暗算」と「計算の工夫」は似て非なるものです。
一般に、計算過程をなるべく暗算で済まそうとする子ほど計算に時間がかかり、計算ミスも多い傾向があります。
そういう子の答案は、式が1行跳び、2行跳びの印象です。
何でそんなアクロバティックな省略をしたがるのか私にはわからないのですが、書いている本人は、もう何年もそういう答案を書いているので、何を注意されているのかわからないようなのです。
ここを省略するから計算しにくくなって、ここで符号ミスをして、ここで計算ミスをする。
そういうことに対して自覚がなく、
「次はミスしないようにしよう」
と思うだけか、ミスしたこと自体なかったことにしようとするのも、そういう子たちの傾向です。
それでは、ミスが減ることはほとんど期待できません。
計算ミスが多いなら計算のスタイルを改善する必要があるのですが、どうもそういう分析がなく、ただ「次はミスしないように頑張ります」と思うだけのようです。
具体的に何かを変えていかなかったら、ミスは減りません。

ただ、そういう子ほど我流のスタイルが身体にしみついていて、改善が難しいのも事実です。
スポーツに通じるものがあるかもしれません。
正しいフォームが大切なのは一般論としてはわかっている。
でも、自分は正しいフォームで行うことができない。
我流の曲がったやり方がしみついている。
そこを注意されても、直せない。
「こうやったほうが自分はやりやすいからいいの!」
と思ったりするのでしょうか。
正しいフォームを身につければ無限に伸びる可能性が生まれます。
我流にこだわったら、先は見えています。
そういうところは、数学はスポーツと似ているなあと思います。
やはり、数学は頭脳のスポーツですね。
ヽ(^。^)ノ


さて、大人のための数学教室、年内の授業は今回が最後でした。
次回は、来年、1月14日(土)となります。


◎日時  1月14日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p109の問題16が宿題です。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。







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