たまりば

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2016年11月28日

12月10日(土)、大人のための数学教室を開きます。


11月26日(土)、大人のための数学教室を開きました。
「不定方程式」の続きです。
今回は、文字が3つある、3元1次不定方程式の解き方。
まずは連立型。
式が2本ある場合です。

問題 連立方程式 
7x+5y+2z=37・・・➀
2x-y+z=13・・・②
の整数解を全て求めよ。

不定方程式の基礎が身についたら、この解き方は自力で発見することもできそうです。
zを消去した式をまず1本作ったら良いですよね。
どうしたら消去できるか?
zの係数を揃えて、足したり引いたりすれば消えます。
➀-②×2をすると。
  7x+5y+2z=37
-)4x-2y+2z=26
  3x+7y   =11 ・・・➂

ここから xとyの解を求めるまでは、今まで学習した不定方程式の解き方と同じです。
暗算で、xとyの整数解の1つを求めます。
例えば、(x, y)=(-1, 2)がそうですね。

この暗算が上手くいかないという悩みをもつ高校生もいます。
見つけられないと言うのです。
上の式で言えば、3xと7yの和が11という正の数になるということは、xとyのどちらかが負の数だということにまず気づくこと。
あとは、係数の大きいyのほうに、1、2と入れていって辻褄が合うかどうかを検討するのが手っ取り早いです。
7と3の差が4で、11と7の差が4であることから、xの係数とyの係数の絶対値の差は1であることは判断できるのですが、そんなことをいちいち考えるのは逆に面倒くさい気もします。

さて、xとyの整数解の1つが見つかりましたので、
3・(-1)+7・2=11・・・④
➂-④をすると、
3(x+1)+7(y-2)=0
移項して、
3(x+1)=-7(y-2)
3と7は互いに素だから、
x+1=7k (kは整数) ・・・➄
➄を➂に代入して計算すると、
y=3k+2
よって、x=7k-1
     y=3k+2 (Kは整数)

xとyの解がわかったら、それを与式のどちらかに代入すればzも求めることができます。
今回は➁の式が求めやすそうなので➁に代入しますが、➀に代入しても同じ答えが出ますし、そのことで考えこんでしまう必要はありません。
ぱっと見てどちらが解きやすいか判断がつかないのは、それはどちらでも本人にとって同じ労力だからだろうと思います。
負の数になると符号ミスをしやすい高校生の場合は、むしろ➀に代入したほうが正解の可能性が高まるかもしれません。

計算の工夫は、そうしなければならないというものではありません。
ただ、この時期、高校生に「三角比」「三角関数」を教えていて感じるのですが、計算が苦手な子ほど計算ミスをしやすそうな計算方法で計算してしまいます。

例えば、余弦定理の利用の問題で、下のような式を立てるところまではできるのです。
49=(x-1)2+25-2(x-1)・5・(-1/2)
式の後ろのほう、-2(x-1)・5・(-1/2) はごちゃごちゃしているように見えますが、ここは全てかけ算の連なりですから、どこからかけても結果は同じです。
-2と-1/2を先にかけてしまえば、ここは1です。
だから、5(x-1)=5x-5 と簡単に整理できます。
しかし、計算が苦手な子ほど、前から順番にかけていきます。
-2(x-1)・5・(-1/2)
=(-2x+2)・5・(-1/2)
=(-10x+10)・(-1/2)
=5x-5
見ていて、「うわあ・・・・」とつぶやいてしまう危険な計算過程です。
そして、途中のどこかで符号ミスやかけ算を忘れたミス、( )をつけ忘れて項がかけ算の連なりから外れてしまうミスなどが起きて、ほとんどの場合、誤答してしまいます。
( )をいちいち開いたら面倒くさくなるよ、そこは最後にしなさいと助言するのですが、そういうのは問題を解いているときには気づかないと本人は言います。
交換法則や分配法則。
そういう計算上の法則がきちんと定着していないのかもしれません。
言われればわかるけれど、使いこなせない。
これを「自分がわかる解き方で解きなさい」とほおっておくことはできません。
計算ミスをしやすい子が、計算ミスをしやすい方法で計算したら、ほぼ確実に計算ミスをします。
これはさすがに止めます。

計算の工夫というのは、簡単に解くための工夫です。
簡単に解くということは、ミスしにくくなるということです。
ミスの出方が同じ頻度であるのなら、どんな解き方でも構わないのです。

さて、不定方程式に話を戻しまして。

x=7k-1 , y=3k+2 を 2x-y+z=13 に代入します。
2(7k-1)-(-3k+2)+z=13
14k-2+3k-2+z=13
17k-4+z=13
      z=-17k+4+13
      z=-17k+17
よって、
x=7k-1
y=-3k+2
z=-17+17 (kは整数)

これが3元1次不定方程式の解です。
ヽ(^。^)ノ

さて、次回の大人のための数学教室は、12月10日(土)です。
これが年内最後の授業となります。

◎日時  12月10日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p106の問題10について質問を受けるところから授業開始です。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。










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