たまりば

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2016年11月15日

11月26日(土)、大人のための数学教室を開きます。


11月12日(土)、大人のための数学教室を開きました。
「不定方程式」の学習の続きです。
例えば、こんな問題。

例 41x+17y=30 の整数解を求めよ。

不定方程式を解くには、まずxyの整数解を1組見つける必要があります。
しかし、このようにxyの係数が大きいと、さすがに暗算で見つけるのは難しくなります。
そこで互除法を利用します。
41÷17=2あまり7 →7=41-17・2
17÷7=2あまり3  →3=17-7・2

目標は、x、yの整数解を1組見つけること。
すなわち、41◇+17△=30
という形の式を1本作ることです。
そこに向かって、数値を代入していきます。
あまりが1になるまで計算しなくても、あまりが30の約数になるまで互除法をやれば、そこから変形していくことができます。
3=17-7・2
 =17-(41-17・2)・2
 =17-41・2+17・4
 =41・(-2)+17・5
この全体を10倍します。
41・(-20)+17・50=30 ・・・・➁

後はこれまでと同じなのでかなり省略して書きますから、この先の計算がよくわからない場合は、前回と前々回の「大人のための数学教室」のページをご参照ください。

与式を➀として、➀-➁をすると。
41(x+20)+17(y-50)=0
移項して、
41(x+20)=-17(y-50)
41と17は互いに素だから。
x+20=17k (kは整数)
y-50=-41k
よって、答えは、
x=17k-20
y=-41k+50 (kは整数)

そのときはわかるけれど、時間が経つと、またわからなくなる。
高校生も、不定方程式は、わかって、わからなくなって、またわかっての繰り返しです。
作業手順だけ覚えようとすると、忘れるのも早いです。
必ず計算の意味に戻れるようにしておきましょう。
なぜ41と17が互いに素だと x+20=17k だと言えるのか。
なぜ、x+20=17k とし、-17k としないのか。
なぜ、y-50=-41k とするのか。
ふっとわからなくなる質問を繰り返し受けながら、計算に没頭してもらった90分間でした。

不定方程式の係数がさらに大きい場合の解法にも進みましたが、これは例題解説をしたのみで、演習は宿題にしました。
また疑問百出と思います。
次回はそこの復習からやっていきましょう。

◎日時  11月26日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p105から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。









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