たまりば

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2016年12月01日

中学三年・高校数A 円に関する問題。



中学3年生の「円」の学習は、ゆとり教育の時代にほとんどの内容が削られ、その後、新課程になってもあまり復活せず現在にいたります。
公立中学では、入試に向けてスケジュールが押している学校も多く、「円周角と中心角」の学習だけでほぼ終わることもあり、「円」をあまり難しいと感じない子が増えてきました。
以前は中学3年生で学習するものだった「円」の内容のほとんどは、現在、高校1年生が学習する数Aに移されています。
しかし、「円」をきっちり学習する時間があるかというと、数Aは数Ⅰと比べて授業数が少ないこともあり、「円」を含む幾何の学習は割愛されてしまうことがあります。
夏休みの宿題として自習しておくこと、夏休み明けの課題テストの範囲です、という高校もあります。
一方、国公立・私立中学では、「円」の学習は旧課程のまま、中2または中3で現在の数Aの内容全てをきっちり学習するところが多いです。
円周角と中心角。
三角形の五心。
接弦定理。
方べきの定理。
・・・・などです。

どちらが良いのかはわからないですが、数Ⅰ「三角比」の学習の最後、平面図形や空間図形の求積の問題で、三角錐に内接する球の半径を求める典型題を解説すると、全く話が通じないことがあります。
「この三角錐の底面は正三角形でしょう?正三角形は内心と重心が一致するから、重心からここの線分の長さを求めることができるんですよ」
「はあ?」
「正三角形は、内心と重心が一致するんですよ。外心もですよ」
「そうなんですか?」
「・・・・重心って何だかわかりますか?」
「・・・・多分、わからないです」
「勉強していないんですかね?」
「・・・・わかりません」
これは、この状態でいいのかなあ?

例えば、「五心」。
三角形の外接円の中心が外心。
三角形の内接円の中心が内心。
三角形の各頂点から対辺の中点に引いた直線の交点が重心。
三角形の各頂点から対辺に引いた垂線の交点が垂心。
三角形の1つの内角の二等分線と他の2つの外角の二等分線の交点が傍心。
これらを合わせて、三角形の「五心」と言います。

「五心がわからない」
と慌てたように教室に入ってきて訴える私立中学の生徒もいますが、よくよく話を聞くと傍心がわからないだけだったりします。
傍心なんか定義だけわかっておけば大丈夫ですよ。
それより、外心や内心、重心に関する典型題は解けますか?
大切なのはそれです。
テストに出るのもそれです。

以前、うちの塾に通う中3の生徒が、五心の個々の名称を答えるだけの問題が定期テストに出たときに、初めは正答を書いたのに、自分の答案を見ているうちに不安になって書き直して全て間違えてしまったことがありました。
「外心」という自分の文字を見ていたら、円の中心は「点」なのに「心」というのはおかしいのではないかと思い始めたそうなのです。
そして、全て「外点」「内点」と書き直してしまいました。
うーむ・・・・。
知識のゲシュタルト崩壊でも起きたのでしょうか。

「・・・・中心なんだから、心という字を使うことに何も問題はないと思いますよ。外点なんて言葉に聞き覚えがありますか?」
「・・・・ありません」
答案を見ながらのこんな会話もむなしく、後の祭りでした。
各2点の問題で、これで10点失ったので私の脱力感も大きかったですが、子どもを教えているとこういうことは避けられません。
相手は機械ではないので、指示した通りの正確な再生はできないこともあります。
テストになると睡眠時間を削って勉強し、テスト中にふっと睡魔に襲われる子もいます。
悪い成績を取った経験が尾をひき、テストに対して恐怖心があり、テスト中にパニックが起きているのではないかと想像される子もいます。
正常な判断ができなくなっています。

外心は、三角形の各辺の垂直二等分線の交点です。
各辺の垂直二等分線は3本あります。
その3本が1点で交わっている。
これは、凄いことです。
最初から3本の直線を1点で交わらせようとして描いているわけではありません。
個々に引いた3本の直線が、必ず1点で交わるんです。

内心は、三角形の3つの内角の二等分線の交点。
これも3本あるのに、1点で交わります。
重心も、垂心も、傍心も、3本の直線が1点で交わっています。

何て美しいのだろう。
この美しさは、この世界の美しさである。
この世界の成り立ちの美しさである。
古代の学者は、そのように感動したのかもしれません。

そういう観点で見たとき、「円」はロマンに満ちています。
幾何は、ロマンあふれる魅力的な分野です。
嫌いだ、苦手だ、ではなく、少しでも楽しんで学習してくれると良いなあ。



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