たまりば

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2016年10月31日

11月12日(土)、大人のための数学教室を開きます。


10月29日(土)、大人のための数学教室を開きました。
今回も「不定方程式」です。
前回は、比較的係数の小さい不定方程式を解きました。
不定方程式は、具体的な整数の解を1組求めることができれば、その後は簡単。
係数の小さい不定方程式なら、整数解の1組も暗算で求めることができます。
しかし、暗算ではなかなか見つけられない場合もあります。
そんなときは、「互除法」を利用して、整数解の1組を求めます。

問題 43x+13y=1 の整数解を全て求めよ。
これはちょっと暗算では整数解を見つけられないですね。
それでは、43と13に互除法を用いてみましょう。
43÷13=3あまり4
これを後で利用しやすいように変形しておきます。
→4=43-13・3
余り=もとの数-割る数×商
という変形です。

この変形で苦労する高校生がときどきいます。
形だけ真似ることはできても、よく意味がわからないようなのです。
おそらく、小学生の頃、加減乗除の関係の理解が完全ではなかったのだと思います。
中学生になって方程式を解くときにもそれは影響したはずです。
移項をするとき、なぜ符号が変わるのか理解しきれないまま、「そういうものだ」と作業手順だけ覚えて済ませてしまったのでしょう。
あるいは、意味が理解できなかったわけではないけれど、作業手順だけを頭に残し、作業の意味を忘れてしまう繰り返しの中で、算数・数学の根幹への理解が痩せていってしまったのかもしれません。
いちいち意味を確かめながら作業していたら時間がかかるので、作業は自動化しがちです。
自動化の中で、意味は無用のものだから記憶から消去してしまった。
そして、意味がわからなくなった。
数学が苦手な子の1つのタイプだと感じます。

中学受験の受験算数では、しつこいくらい「逆算」の計算問題が出題されます。
中学生になったら使うことのない逆算をなぜそんなにしつこく問うのかといえば、加減乗除の関係を正しく理解できている子を入学させたいからでしょうか。
表面的には逆算を使用することは中学入学以後はないけれど、その考え方がきちっと定着している子でないと、その上に何を積み上げていっても何だか不安定です。
いつか、何も積み上がらなくなってしまう。
そういうことなのではないかと思います。

話を戻して、43と13に互除法を用いて、
43÷13=3あまり4→4=43-13・3
13÷4=3あまり1 →1=13-4・3
余りが1。
与えられた不定方程式の右辺と一致しました。
ここから、上の矢印の右の式を代入して、元の式と同じ形に復元作業をしていきます。
1=13-4・3
 =13-(43-13・3)・3
 =13-43・3+13・3・3
 =13-43・3+13・9
 =43・(-3)+13・10
すなわち、
43・(-3)+13・10=1 ・・・➁
43x+13y=1と同じ形になりました。(*'▽')
x=-3、y=10 は、この方程式の解の1つです。
これが互除法を利用した解の1組の求め方です。

後は、前回解いた基本問題と同じです。
与えられた不定方程式・・・➀から、今求めた式➁を引きます。
  43x    +13y  =1
-)43・(-3)+13・10=1

引いた答えは、
43(x+3)+13(y-10)=0
移項すると、
43(x+3)=-13(y-10) ・・・➂
43と13は互いに素だから、
x+3=13k (kは整数)
これを➂に代入すると、
43・13k=-13(y-10)
13(y-10)=-43・13k
y-10=-43k
y=-43k+10
よって、答えは、
x=13k-3, y=-43k+10 (kは整数)
これで、どんな不定方程式でも解けますね。

さて、次回はこの復習と、x,yの他にzも出てくる3元1次不定方程式の解法に進みます。
◎日時  11月12日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p105から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。





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