たまりば

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2016年10月17日

10月29日(土)、大人のための数学教室を開きます。



10月15日(土)、大人のための数学教室を開きました。
今回は、前回と同じ内容の授業でした。
前半は、ユークリッドの互除法。
後半、「不定方程式」の学習に進みました。
不定方程式とは解が定まらない方程式のことです。
例えば、 3x-4y=0
この方程式1本では、x、yの値は定まりません。
y=3/4x
と変形してみるとわかりやすいでしょうが、これは比例の式ですから、xとyの値の組は無数に存在します。
では、「解は無数に存在する」で終わらせるのかいうと、もう少し範囲を狭めて、何か情報を伝えたいものです。

不定方程式の問題は、「x、yの整数解を求めよ」となっているのも特徴です。
無数に存在する中で、xもyも整数の解を求めなさいというのです。
いやいや、それだって無数に存在するのですが、何か解の性質のようなものを伝えて、それを答えとしたい。
そういう方向で解いていくことになります。

3x-4y=0
とりあえず、yを移項します。
3x=4y
こうすると、xとyの整数解の関係が見やすくなります。
3と4は、最大公約数が1。
それ以外に整数の共通因数を持ちません。
つまり互いに素です。
それで、3x=4y が成り立っているということは、xには4の因数が含まれているということではないでしょうか。
一方、yには3の因数が含まれている。
つまり、xは4の倍数で、yは3の倍数です。
そうでなければ、この等式は成立しません。
よって、
x=4k、y=3k (kは整数)
これが、この不定方程式の整数解となります。
1つに特定することはできないけれど、xは4の倍数ですし、yは3の倍数ですよ。
kに整数を代入すれば、個々の解は全て出てきますよ。
この解答が伝えていることは、そういうことです。
これが、不定方程式の解です。

「何だか解いた気がしない」
と、高校生には全般的に不評です。
数学は答えが1つに決まるものだと思っていたのに、この答えは中途半端だ。
今までの方程式と何か違うので、やりにくい。
頑固なタイプの生徒ですと、違和感を抱き、反発心も強く、なかなか定着しない内容です。
納得できない内容は、頭に入らないですよね。
「数学とはこうでなければならない」
という固定観念の強い人ほど、この先の数学で実感的に納得できる内容は少なくなっていきます。

頑固にならないでね。
この先の内容で納得できないことがあったら、そんな考え方もあるのかと受け流すといいよと話しています。

さて、不定方程式をもう1問。
3x+5y=1
これは、どう解きましょうか?
右辺が0なら、上の問題のようにxとyの関係を見ることができますが、右辺が1なのでやりにくいですね。
では、まず右辺を0にしましょう。
どうやって?

上の方程式が成立するxとyの整数解を1組、とにかく見つけます。
もっと複雑になると見つけ方の計算方法もありますが、今のところ問題がシンプルなので、暗算で見つけることができますね。
x=1のときは、yは整数解はありません。
x=2のとき、y=-1ならば、
3・2+5・(-1)=1
これは成立します!
そこで、与式から、今作った式を引きます。
  3x +5y     =1 ・・・➀
-)3・2+5・(-1) =1 ・・・②

答えは、3x-3・2=3(x-2) というように分配法則でくくっておきます。
3(x-2)+5(y+1)=0
これで右辺は0になり、xとyの関係が見やすくなりました。
移項して、
3(x-2)=-5(y+1) ・・・・➂
3と5は互いに素ですから、x-2は5の倍数だとわかります。
よって、
x-2=5k ・・・④
x=5k+2
④を➂に代入すると、
3・5k=-5(y+1)
15k=-5(y+1)
-5(y+1)=15k
y+1=-3k
y=-3k-1

よって、この不定方程式の解は、x=5k+2、y=-3k-1 (kは整数)
最初に見つけた整数解によって、この解答は見た目が少し違ってきます。
しかし、表しているものの関係は変わりません。
だから、模範解答と異なるものでも正解はあります。

このやり方で、どんな問題でも基本的には解いていくことができます。
しかし、暗算で整数解を見つけるのには限界があります。
もっと係数の大きい不定方程式はどのように解いたら良いでしょうか。
次回はそこから授業を行います。

今回、久しぶりにご参加の方がパソコンメールからお申込みくださったのですが、携帯メールかラインでのお申込みいただくのが常態になっていて、金曜日にパソコンを開くことがなく、ご迷惑をおかけしました。
ブログ更新のときしかパソコンは開かないので、本当に申し訳ありませんでした。


次回の数学教室のお知らせです。
◎日時  10月29日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p104「不定方程式(互除法の利用)」から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。





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