たまりば

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2016年10月03日

10月15日(土)、大人のための数学教室を開きます。


10月1日(土)、大人のための数学教室を開きました。
今回から「ユークリッドの互除法」の学習に入ります。
この後「不定方程式」を解くのに使う計算方法ですので、確実に身につけておきたいところです。
「ユークリッドの互除法」とは、最大公約数を求める方法です。
それなら「連除法」があるからそれでいいじゃないかという気もしますが、連除法は、最大のものではなくてもとにかく公約数を自力で見つけなくてはなりません。
2や3ならすぐに見つけられますが、公約数が19だったり23だったりしたら、見つけにくいですね。
そうしたものでも確実に見つけられるのがユークリッドの互除法です。
まず、小学生レベルの簡単な問題で考えてみましょう。

問題 縦70cm横98cmの長方形の紙があります。これを余りがないようにできるだけ大きい正方形に切り分けます。正方形の1辺を何cmにすればよいですか。

これは、70と98の最大公約数を求めればよいですね。
上の板書の左下は、いつもの連除法で解いたものです。
最大でなくて良いので、公約数を考えます。
思いつくのは、まず「7」。
70と98をそれぞれ7で割って、10と14。
今度は、10と14の公約数を考えます。
「2」ですね。
それぞれを2で割って、5と7。
もう1以外の公約数はなくなりました。
したがって、最大公約数は、7×2=14。
これが連除法です。

一方、今回学習する「ユークリッドの互除法」は、長方形を初めからざっくり正方形に切り分けていく方法です。
板書の中央下が互除法です。
まず、縦の70cmにあわせて、70×70の正方形を1つ切り出します。
最終的に切り分ける正方形の1辺は必ず70の約数なので、この正方形は後で余りなく切り分けていくことができるでしょう。
切り出した残りは、縦70cm横28cmの長方形です。
この長方形も最終的に同じ大きさの正方形に切り分けるのですから、求める正方形の1辺は、70と28の最大公約数でもあるでしょう。
ならば、1辺28cmの正方形をまず切り出して、後でその正方形をさらに細かく切り分けることにしても余りは出ないでしょう。
28×28の正方形は、上の図のように2つ切り出すことができます。
残りは、縦14cm横28cmの長方形。
同じように考えて、今度は、14×14の正方形を切り出していくと、これは2つ切り出すことができ、余りはありません。
では、この1辺14cmの正方形が求めたかった最大の正方形でしょう。
先程切り出した28×28の正方形は、この正方形に切り分けることができますね。
70×70の正方形も、この正方形に切り分けることができます。
やはり、答えは、14cmです。

これを式で表すと、
98÷70=1あまり28
70÷28=2あまり14
28÷14=2
よって、答えは14。
これが互除法です。

「ああ、商は関係ないんですね」
と参加者の方から感想がありました。
そうなんです。
今回も、商はどうだっていいんです。
割る数とあまりが大切です。

ところで、高校数学は必要がない限り「÷」の記号や「余り」という日本語は使いません。
98÷70=1あまり28
という書き方ではなく、
98=70・1+28
という書き方をします。
これは、小学校でわり算の筆算を学習したときに、検算の式として学習している内容です。
「はじめの数=わる数×商+あまり」
という式です。
同じ数量の関係を異なる表し方をしたもので、意味は同じです。
いきなりこの書き方で表すとそれを理解することでハードルが上がって難しいかと思い、最初はわり算の式で説明したのですが、その後の証明問題では下のほうの書き方をすることになるため、参加者の方はそれに慣れず戸惑ってしまわれたようです。(..)
でも、上のほうのわり算の書き方で理解できれば大丈夫です。
実際に不定方程式に互除法を利用する場合は、上の書き方でも下の書き方でもない、第3の書き方を利用します。
これはマスターしなければ不定方程式がうまく解けません。
28=98-70・1
という書き方です。
「余り=はじめの数-割る数×商」
という意味の式です。
この式も面食らってしまわれる可能性がありますが、これは慣れるまでしっかりやっていきます。

さて、次回の数学教室は、今回参加されたお2人から欠席のご連絡が既に出ていますので、今回欠席された方がご参加の場合、今回と同じ内容の授業をする予定です。

◎日時  10月15日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p103「ユークリッドの互除法」から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  メールかラインにて、ご予約をお願いいたします。








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