たまりば

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2016年09月18日

10月1日(土)、大人のための数学教室を開きます。


9月17日(土)、大人のための数学教室を開きました。
今回で「合同式」は最終回です。
「何か合同式が面白くなってきました」
と嬉しいお言葉をいただいて、今回もいろいろな問題を解きました。
まずはこんな問題。

問題 整数nを3で割った余りが2のとき、n3-3nを3で割った余りを求めよ。

合同式を使うと簡単ですね。
整数nは3で割った余りが2なのだから、
n≡2 (mod3)
よって
n3-3n≡23-3・2≡8-6≡2 (mod3)
したがって、余りは2です。

証明問題も解きました。
問題 連続する3つの整数の積は6で割り切れることを利用して、nが整数であるとき、n3+5nは6で割り切れることを証明せよ。

この問題は「合同式」を学習していない生徒に向けたものなので、「連続する3つの整数の積は6で割り切れることを利用して」とあります。
しかし、合同式を使って証明するなら、この部分は不要です。
6で割り切れるかどうかを証明するのですから、6を法として論を進めていけば良いのです。

整数nは6を法とするとn≡0、n≡1、n≡2、n≡3、n≡4、n≡5のいずれかに分けられる。
(1)n≡0のとき
n3+5n≡03+5・0≡0
(2)n≡1のとき
n3+5n≡13+5・1≡6≡0
(3)n≡2のとき
n3+5n≡23+5・2≡18≡0
(4)n≡3のとき
n3+5n≡33+5・3≡42≡0
(5)n≡4のとき
n3+5n≡43+5・4≡64+20≡84≡0
(6)n≡5のとき
n3+5n≡53+5・5≡125+25≡150≡0
(1)~(6)より、
n3+5n≡0
よって、nを整数とすると、n3+5nは6で割り切れる。

シンプルで楽ですね。
これを「連続する3つの整数の積は6の倍数であることを利用して」となると、まず連続する3つの整数の積はなぜ6の倍数であるかでつまずいて立ち止まってしまう高校生がいます。
しかし、私は内心、そこは省略したいのです。
今それは主題ではないから、ああ、そうなんだとすんなり納得してくれないかなあ。
連続する3つの整数なんだから、どれかは2の倍数だし、どれかは3の倍数だよ。
だから、積は必ず6の倍数でしょう?

この雑な説明が頭の中でスパークしたように顔を輝かせ、
「すげえっ!そうか!」
と感嘆する子もいて、私は、
「・・・・おまえ、オラが見えるのか?」
と哀しい妖怪の定番のセリフを口にすることもあります。

一方、私がそういう雑な説明をすると余計に
「え?」「え?」「え?」
となってしまう子も多いです。
こういう子には、さらに説明しても、
「でも、どれが2の倍数で、どれが3の倍数かわからないじゃないですか」
と言われてしまうことがしばしばです。
そこを詳細に場合分けして説明すると、むしろ場合分けしたことがあだとなり、
「だって、こっちの場合とこっちの場合では話が違うじゃないですか」
と言われてしまい、ああもうこの話はしたくないと泣き伏したくなります。
わからないことが苦しいのは何より本人なのだとわかってはいるけれど。

勿論、これを解決する方法はあります。
具体例を相手が納得のいくまで出していくこと。
連続する3つの整数として例えば「9、10、11」を考えます。
9は3の倍数です。3×3と分解できます。
10は2の倍数です。2×5と分解できます。
したがって、
9×10×11=3×3×2×5×11
3×2という因数が含まれていますから、これは6の倍数です。

これをやれば、ある程度は理解してもらえるのですが、私の中では1つの敗北と感じてもいるのです。
せっかく文字を用いて抽象化しようとしているのに、結局、具体例で考えないと理解できない。
抽象を抽象のまま理解できなくて、この先の学習は大丈夫だろうか?
・・・・心配ばかりしていても仕方ないのですが。

いずれにしろ主題ではないことにかなりの時間を費やし、さて問題は何だったかというと。

問題 連続する3つの整数の積は6で割り切れることを利用して、nが整数であるとき、n3+5nは6で割り切れることを証明せよ。

・・・・ああ、この先がまた長い。
合同式なら簡単なことが、何でこんなに複雑になるのでしょう。
やっぱり合同式は凄いのです。
(*'▽')

さて、「合同式」は今回で終了し、次回からは「ユークリッドの互除法」に進みます。
◎日時  10月1日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p103「ユークリッドの互除法」から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  メールかラインにて、ご予約をお願いいたします。






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