たまりば

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2016年09月05日

9月17日(土)、大人のための数学教室を開きます。


9月3日(土)、大人のための数学教室を開きました。
今回も「合同式」。
例えば、こんな問題です。

例題 a、bを整数とする。aを5で割ると3余り、bを5で割ると4余る。このとき、abを5で割ったときの余りを求めよ。

これは、合同式を用いないで解くことも勿論可能です。
m、nを整数とすると、a、bは、m、nを用いて、
a=5m+3、b=5n+4 と表すことができる。
ab=(5m+3)(5n+4)
  =25mn+20m+15n+12
  =5(5mn+4m+3n+2)+2
よって、abを5で割った余りは2。

これを合同式を用いて解くと、
a≡3、b≡4 (mod5)
ab≡3・4≡12≡2 (mod5)
よって、abを5で割った余りは2。

合同式を用いると余計な文字を使わずに済むので、答案がシンプルですね。
実は考え方の本質は同じなので、ぜひ合同式を身につけて簡単に解いていただきたいと思います。

また別の問題。

問題 2012の200乗を7で割ったときの余りを求めよ。

合同式を用いれば簡単です。
まず2012を実際に7で割って確認すると、
2012≡3 (mod7) です。

よって、
2012200≡3200≡9100≡2100=833・2≡133・2≡2 (mod7)
よって、余り2。
合同で言い換えては計算し、また合同で言い換える。
しかし、指数法則がわかっていないと、この計算はピンとこないかもしれません。
こうした指数計算は、この後、数Ⅱ「指数関数」、数B「数列」でもよく使うのですが、現役高校生でも、ここはよく詰まるところです。
模範解答を見ても、何をどう計算して次の行になっているのかわからないようなのです。
こうしたとき、授業では、私の板書のどこがわからないか1行ずつ確認して謎を解いていきます。

上の答案では、
2100≡833・2
のところが一番わかりにくいかと思います。
2の100乗を、(23)33×2
というふうに分解しているのですが、指数法則が理解できていないと、
「そんなことをしていいんですか?」
と思うようです。
高校数学を自学するのが難しいのは、今学習していることなら解説が書いてあるけれど、それ以前のことは解説されていないこと。
そして、わからないことの大半は今学習していることではない場合が多いのです。
今学習していることとあわせて、既習の内容でわかっていなかったことを確認する。
そうやって一歩一歩やっていきましょう。

さて、次回の数学教室のお知らせです。

◎日時  9月17日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p100「剰余の利用」から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  メール・ラインにて、ご予約をお願いいたします。
      

     
    



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