たまりば

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2016年07月21日

7月30日(土)、大人のための数学教室を開きます。



7月16日(土)、大人のための数学教室を開きました。
今回も整数の性質。
「最小公倍数・最大公約数」の性質について学習しました。
例えば、こんな問題です。

問 最小公倍数が144、積が864である自然数の組(a,b)をすべて求めよ。ただしa<bとする。

まず、aとbとの最大公約数をgとすると、
a=ga'、b=gb'と表すことができます。
このとき、aとbの最小公倍数は、ga'b'と表されます。
(a'、b'は互いに素な自然数で、a'<b')

ここまで、答案としてはすらっと流れていくところです。
しかし、ここがすらっとご理解いただけない場合もあるかもしれません。
最小公倍数を求めるための連除法を思い浮かべると理解の助けになると思います。
しかし、年代によっては連除法を小学校・中学校で学んでいないこともあります。
その場合は呑み込みにくい内容かもしれません。
連除法というのは、自然数を素因数分解するように、2つないし3つの自然数を共通に割れる数で割り進めていく方法です。
わり算の屋根を逆向きに書いていくやり方ですね。
左に立てていく共通に割ることのできる数の積が、最大公約数。
さらにそれと、下に残った2つないし3つの商を全てかけたものが最小公倍数となります。

G・C・D(最大公約数)のGの最後の縦棒のイメージで、左の縦列の数をかけなさい。
L・C・M(最小公倍数)のLのイメージで左の縦列から下の横列の数をかけていきなさい。
昔は、そんなふうな「覚え方」が、雑誌「中1コース」の付録に載っていたりしたものです。
今は、小学校で「最大公約数・最小公倍数」を学習しますが、連除法は発展的な内容として教えないことが多いです。
中学受験をした子は塾で習っていますが。
知っておくと便利なやり方です。

ともかく、自然数aとbの最小公倍数をga'b'と表します。
したがって、ga'b'=144・・・・①
また、積が864なので、
ab=864
よって、ga'gb'=864・・・・②
②÷①より
g=864÷144=6・・・・➂
➂を①に代入して
6a'b'=144
a'b'=24
となります。
初めに規定した通り、a'とb'は互いに素な自然数で、a'<b'ですから、あてはまる自然の組はいくつもありません。
それを全てあげていくと、
(a'、b')=(1、24)、(3、8)です。
(2、12)や(4、6)は互いに素ではないのであてはまりません。
(8、3)は、a'<b'という条件に合わないですね。
a=ga'、b=gb'ですから、
上の(a'、b')をそれぞれ6倍して、
(a、b)=(6、144)、(18、48)
が答えとなります。

同じ構造の問題は中学受験の受験算数にも出題されます。
実は、小学生でも解くことが可能な、易しい問題なのです。
ただ、初めて解くときは、その論理展開についていくのが大変かと思います。
自然数が常に他の自然数の積の形として見えていることが重要でしょう。
これは、いろいろな計算の工夫の上でも必要な感覚ですが、「和の感覚」はあっても「積の感覚」に気づいていない人は多いかもしれません。
慣れてしまえば難しくありません。

さて、次回はいよいよ合同式に入ります。
今回よりもさらに違和感は強まり、「整数にこんな扱いをするなんて、イカれてるわー」とつぶやきたくなるかもしれません。
それくらい、普段の感覚からするとぶっ飛んでいるのが合同式です。
でも、イカれてるのではなく、イカしてるんですよー。

8≡1(mod7)
何で1と8が合同なのー?
数字が合同ってどういうことー?
さあ、このような叫びを上げるために、次回の授業にご参加ください。

◎日時  7月30日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p120「合同式」から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
       左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
       既にご参加いただいている方は携帯メールアドレスにご連絡ください。     






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