たまりば

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2016年07月04日

7月16日(土)、大人のための数学教室を開きます。





見事な擬態。
でも、かなりピンボケですみません。

さて、7月2日(土)、大人のための数学教室を開きました。
「整数の性質」の学習の続きです。
いよいよ難しいところに入りました。
例えば、こんな問題です。

自然数aとbが互いに素であるとき、a+2bと3a+5bも互いに素であることを背理法を用いて証明せよ。

問題を解く前に解決すべき点が2つあります。
「互いに素」とは何なのか?
「背理法」とは何であるか?

「互いに素」は、今回初めて学ぶ内容です。
定義はこうです。
2つの整数a、bの最大公約数が1であるとき、aとbは互いに素であるという。
うわあ、これだけでは何を言っているのかわからなーい。

例をあげて考えてみましょう。
例えば、15と28について考えてみます。
素因数分解すると、
15=3・5
28=2・2・7
それぞれの素因数の中に共通のものがありません。
この場合、15と28の最大公約数は1となります。
このように、共通の素因数を持っていない関係が「互いに素」です。
これは今回だけ出てくる内容ではなく、この先、不定方程式を解く際にも使用します。

では、「背理法」とは何でしょうか?
これは、数Ⅰ「数と式」の単元で学習しました。
高校生でも、「何かわからないところはある?」と私が質問すると、
「背理法がわからない」
という答えがすぐ返ってくるほど、圧倒的にわからないところのようです。

背理法は、結論として証明すべきことをまず否定します。
その否定した仮定によって論を進めていくと、しかし、矛盾が生じます。
矛盾が生じたのは、仮定が間違っているからです。
だから、結論が正しいことが導かれる。
そういう証明方法です。

こういう論理の進め方が肌に合わない人というのもいます。
「だって、さっき結論は否定したじゃないかー」
など、論理展開に追いついていない反応もあれば、
「矛盾が生じたからといって、仮定が間違っているとは限らないんじゃないの?」
という懐疑にとりつかれてしまう場合もあります。

そこから一歩進んで。
背理法の論理の構造は理解できるけれど、実際に何をどうやって矛盾を指摘すれば良いのか自力で発想できない、という悩みをもつ高校生は、実はかなり優秀です。
そんなのは初学者なんだから当たり前で、典型題のテクニックを自分のものとして蓄積していく以外に方法はありません。
1題2題解いたくらいで背理法を自力で操れるようになるわけがありません。
学校の定期テストで背理法の証明問題を出す場合は、典型題ばかりです。


さて、話を戻し、もう一度上の問を見てみましょう。
これを背理法で証明するのですから、まず結論を否定した仮定を立てます。

a、bが互いに素であるとき、a+2bと3a+5bは互いに素ではないと仮定する。
互いに素ではないということは、1より大きい最大公約数が存在するということ。
つまり、共通因数があるということです。
その1以外の最大公約数を自然数gで表します。
他に、k、L(本当は小文字)を自然数とすると、
a+2b=kg ・・・①
3a+5b=Lg ・・・②
と表すことができます。

さて、上の仮定を突き崩し矛盾を指摘するのですから、これを用いて、aとbが互いに素ではないことを示せば良いのです。
では、とりあえず、連立方程式のようにして、a、bについて解いてみましょう。
共通因数が出てくれば、aとbは互いに素ではないことになりますね。

①×3-②
  3a+6b=3kg
-)3a+5b=Lg
       b=g(3k-L) ・・・➂

①×5-②×2
  5a+10b=5kg
-)6a+10b=2Lg
  -a    =g(5k-2L)  
        a=g(2L-5k) ・・・④

出ました!
➂、④より、aとbは、gという1以外の共通因数を持つことになります。
これは、aとbが互いに素であることに矛盾します。
何でこんな矛盾が生じたのでしょう?
それは前提とした仮定が間違っていたからです。
「aとbが互いに素であるとき、a+2b、3a+5bは互いに素ではない」という仮定が間違っていたのです。
したがって、aとbが互いに素であるとき、a+2b、3a+5bも互いに素です。

これが背理法による証明です。
(*^^)v

さて、次回の大人のための数学教室のご案内です。
次回、進度が速ければついに「合同式」に入りますが、その前段階で終わるかもしれません。
「合同式」は発展的内容で、テキストの巻末にあります。
学習しなくても良いのですが、これを知っておくと証明が数行で済むことがありますので進学校では大抵学習します。
大人のための数学教室でも、学習してみましょう。

◎日時  7月16日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p98例題13から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
       左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
       既にご参加いただいている方は携帯メールアドレスにご連絡ください。     





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