たまりば

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2016年05月13日

5月21日(土)、大人のための数学教室を開きます。


2016年5月7日(土)、大人のための数学教室を開きました。
「場合の数と確率」の学習も今回が最後です。
最後は「いろいろな確率」という応用問題を解きました。
例えば、こんな問題です。

例題 
箱の中に7個の赤玉、5個の白玉が入っている。x軸上の点Aは、原点を出発し、箱から玉を1個ずつとりだして赤玉が出ればx軸の正の方向へ1、白玉が出ればx軸の負の方向へ1、それぞれ動くものとする。取り出した玉は元に戻さないとすると、玉を4個取り出したとき、点Aが原点に戻る確率を求めよ。

これは、具体的に1つ例を考えるならば、例えば赤赤白白の順に玉が出れば、点Aは原点に戻りますね。
その場合、最初に赤が出る確率は7/12、次に赤が出る確率は、6/11、その次に白が出る確率は、5/10、さらに次に白が出る確率は、4/9。
確率同士はかけ算できますから、赤赤白白の順に玉が出る確率は、7/12・6/11・5/10・4/9となります。
また別の場合を考えると、赤白赤白の順でも、点Aは原点に戻ります。
この順に玉が出る確率を考えると、
7/12・5/11・6/10・4/9 です。
数字の並びを考えるとわかると思うのですが、赤2個、白2個が出る確率は、順番はどうあれ、分母は12・11・10・9。
分子は、7・6・5・4 になります。
赤赤白白と赤白赤白は同時には起こらない、すなわち互いに排反ですから、それらの確率の和が求めたい確率となります。

でも、点Aが原点に戻る場合は、上の2通りだけではありません。
順番はどうあれ、赤2個白2個が出れば、点Aは原点に戻ります。
つまり、赤2個、白2個の並べ方の数だけ、同じ確率のものが存在し、それらは全て互いに排反ですから、それらを全てたすと求めたい確率になります。

赤2個白2個の並べ方は、同じものを含む順列として求められます。
4!/2!2!という式ですね。
これは、同じものを含む順列の公式を使用していますので、「意味がわからない」と感じたら、そこに戻って復習しましょう。

最終的に、求める確率は、
4!÷(2!2!)×(7・6・5・4)÷(12・11・10・9)
です。
ネットで分数表記ができないので、読みにくい式になっています。
分数式としてご理解ください。
反復試行の確率の考え方に少し似ている式ですね。
答えは、14/33です。

授業に参加される皆さんは、式が正しく立ってから、その後の計算でスッタモンダするのを毎回楽しまれています。
互いに排反の確率を最後に足す問題なので、計算過程では分数は約分しないでください。
どうせまた通分することになるのですから。
そうお願いしても、いつもの癖で約分してしまうようです。
そして、いったん約分した後で通分すると、計算が合わない。
約分か通分か、どちらかの過程で計算ミスをしているのでしょう。
約分ミスの多くは、商を書くべきところで割った数を書いてしまっているというような単純ミスが多いので、発見できたら「何だこれ、くだらない」と思うだけなのですが、見つかるまでは本人としては気になるのですよね。
時間がないので途中で打ち切りましたが、後で見直せば何でもないミスだったと思います。
そして、やはり、どうせ通分するのですから、約分はしないでおきましょう。
(*^^)v

さて、次回の数学教室のお知らせです。
「確率」の学習が終わりました。
テキストとしては次は「図形」ですが、中3の内容を学習していたときは発展的なテキストを使用していたので、数Aの図形分野は既に学習済みです。
「図形」分野は省略し、その次の単元に進みます。
最初は小学校の復習みたいで易しいのですが、途中からびっくりするくらい難しくなりますよー。
(*^^)v

◎日時  5月21日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「整数の性質」の学習に進みます。p92「約数と倍数」から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
       左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
       既にご参加いただいている方は携帯メールアドレスにご連絡ください。     












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