たまりば

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2016年04月24日

5月7日(土)、大人のための数学教室を開きます。


今日は、年に一度の外秩父七峰縦走大会の日。
しかし、私、実は、先月高尾にハナネコノメを見に行ったときに雪まじりの泥道で足をくじいてしまいました。
もう普段の生活に支障はないのですが、先日南高尾を歩いたときもお昼くらいで足が痛み始め、後半はいつもなら1時間で歩けるところを1時間半かかってしまいました。
七峰縦走42kmを時間内で歩くのは無理と判断し、今年は棄権いたしました。
残念です。

さて、昨日、4月23日(土)、大人のための数学教室を開きました。
ご参加は2名様。
前回の授業について何か質問はありますかと確認しましたところ、2回ほど前の条件付き確率の基本的な定義にまつわる質問を受けました。
あれ?何でそんな前のところ?前回の中の応用問題の解き方ではなく?
と思ったらその方はこの2回連続して欠席されていたのでした。
休んだ方の理解の助けになるようにこのブログを書いていますが、それだけでは根本的なところでモヤモヤしてしまうようです。
条件付き確率とは何か、どうしてその公式で答えが出るのか。
定義や公式が解説される最初の授業に欠席すると、確かに後が苦しいです。

子どもも同じで、今は都立自校作成校に通っている子ですが、小学校5年生の冬にインフルエンザにかかり、学校の算数の「割合」の授業の最初の2回を欠席したため、何が何やらわからなくなったのがきっかけで入塾した子もいました。
90分の個別指導1回で回復しましたが、些細なところにつまずきの元はあります。

今回の授業内容は「事後に考えた条件付き確率」です。
基本に戻ってもう一度考えでみましょう。

例題
赤玉5個、白玉2個が入っている袋から1個ずつ続けて2個の玉を取り出した。2個目の玉が白玉であったとき、1個目の玉が白玉である確率を求めよ。

まずは、場合の数を用いて、これを求めてみましょう。
玉の数は合計7個。
それぞれの玉は色は同じでも別の玉と認識しますから、全体の場合の数は7個から2個を取り出す順列となります。
したがって、全体の場合の数は、
7×6=42(通り)
しかし、今回、2個目の玉は白玉であったことが確定しています。
ですから、2個目の玉が白玉である場合は何通りあるのかを考えます。
これは場合分けの必要があります。
すなわち、赤白の順番で出た場合と、白白の順番で出た場合と。
赤白の順に玉が出る場合の数は、
5×2=10(通り)
白白の順に玉が出る場合の数は、
2×1=2(通り)
よって、合計で、10+2=12(通り)であるとわかります。
条件付き確率は、この12通りが全体の場合の数となります。
2個目が白玉であるという条件下で1個目が白玉である確率は?ということだからです。
この12通りのうち、1個目も白玉であったのは、上の計算のように2通りです。
ですから、2個目が白玉であったとき、1個目も白玉であった確率は、2/12=1/6
これが答えとなります。

何も難しくありません。
条件付き確率は、条件がついたことで全体の場合の数が限定されるだけなのです。
ただ、高校数学では、上のように場合の数をいちいち求めたりせず、確率で処理します。
そのためにあるのが公式です。
公式は直観では意味を把握できないかもしれません。
だから、
「わからない、わからない」
となってしまうことがあるようです。

条件付き確率の公式は、
PA(B)=P(A∩B)/P(A)
ただし、今回は、2個目がわかってからさかのぼって考えます。
PB(A)=P(B∩A)/P(B)
と書き換えたほうがわかりやすいでしょう。
これが、事後に考えた条件付き確率の公式です。
1個目の玉が白である事象をA、2個目の玉が白である事象をBとします。

分母であるP(B)は、2個目が白玉である確率。
やはり場合分けして求めます。
赤白の順に玉が出る確率は、
5/7・2/6=10/42
白白の順に玉が出る確率は、
2/7・1/6=2/42
この2つは互いに排反ですから、2個目が白玉である確率は、
10/42+2/42=12/42 となります。

分子であるP(B∩A)は、2個目が白で、かつ1個目も白である場合の確率。
すなわち、白白の順に玉が出る確率ということですから、
2/7・1/6=2/42

よって、
PB(A)=2/42÷12/42=2/12=1/6
これが、答えです。

場合の数を用いて求めたさきほどの数字と見比べてください。
似ていますね。
2が2/42 に。
12が12/42 になっているだけです。
それぞれ、全体の場合の数42が分母としてついているだけです。
確率として式を立てたために、それらが分母についているだけ。
その分母は計算するときに払うことができます。
だから、場合の数÷場合の数で計算しても、確率÷確率で計算しても、結果は変わりません。

確率÷確率 でも、場合の数÷場合の数 と同じ結果が出る。
条件付き確率の公式が示していることは、そういうことです。

ところで、前のブログでもそこを詳しく書いたつもりだったのですが、計算式をズラズラ書いてあるところは読みにくいのかもしれません。
上手く頭に入ってこない。
つい斜め読みになる。
そこが理解するために一番重要なところだということも、1人で読んでいてはピンとこない場合もあると思います。
自学の難しさはそこにあります。
何が重要であるか、自分ではわからない。
読み流したことが最も重要なことかもしれません。

つい先日も、高校生に「2次関数」の授業をしていて、
平方完成をした一般式
y=a(x-p)2+q
このとき、軸は直線x=p、頂点(p,q)
という、2次関数の前半の学習で最も大切なところをわかっていない子がいました。
「学校で習っていない」
というので、授業ノートを見せてもらったら、ノートにはしっかり書いてありました。
ただ、全てシャーペンで、黒1色。
ズラズラと行替えもせずに書かれて他の内容の中に埋没していたので、私は天を仰ぎました。
「これは、真っ赤で書いて、青マーカーで囲んでおくようなところだよー!」
「だって、うちの先生、色分けしないから」
「もう高校生なんだから、重要度は自分で判断しなさーい!」

・・・・しかし、それは無理というものかもしれません。
そのために私がいるのですよね。

さて、次回の数学教室のお知らせです。

◎日時  5月7日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「場合の数と確率」を続けます。p47「いろいろな事象の確立」から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
       左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
       既にご参加いただいている方は携帯メールアドレスにご連絡ください。     







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