たまりば

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2016年04月22日

場合の数と確率 グループ分けの問題




「場合の数と確率」という単元は、公立中学では基本的には全て書きだせる範囲の問題が出題されます。
しかし、国公立・私立中学では、順列・組合せの公式を学習しますので、かなり発展的な問題も演習することになります。
それは、高校数学の「場合の数と確率」の基本問題のレベルと重なります。
今回は、そのような問題について見てみましょう。

例題1
12人の生徒がいます。A君とB君は必ず別のグループにするとして、5人と7人のグループに分ける方法は何通りありますか。

この問題は、まず5人のグループだけに着目しましょう。
両方のことを一度に考えるとむしろ混乱します。
5人のグループに入らなかった人たちが自動的に7人のグループに入ります。

5人のグループにA君が入ると固定して考えてみます。
残りの4人をA君B君を除く10人から選びます。
10人から4人を選ぶ組合せです。
公式通りに、
10×9×8×7/4×3×2×1=210
210通り。
しかし、5人グループにB君が入る場合もあります。
A君が入るところ全てにB君が入る場合があるのですから、
210×2=420
420通りが答えとなります。

ここで、5人グループを選んだ後、さらに7人グループを選ばなければならないと勘違いをしてしまうことがあります。
5人グループを選べば、そこに選ばれなかった人たちが自動的に7人グループに入る。
そのことがピンとこないようなのです。
選ばないのだから、選んだことにならない。
そういう不可解な論争を指導中にしなければならないことが今までもありました。
そういう場合、選ばなかった残る7人から7人グループのメンバーを「選ぶ」のだと説明すると意外とすんなり理解を得られることがありました。
7人から7人を選ぶ方法は1通りです。
420×1=420
×1をしても結果は変わらないから、以後はやらなくて良いですよね?
その説明ならわかるという子は案外多いです。

例題2
12人の生徒がいます。A君B君は必ず別のグループに入るとして、6人ずつの2つのグループに分ける方法は何通りありますか。

一見、例題1と同じようです。
まず、1つ目の6人のグループにA君が入ると固定して考えます。
A君B君を除いた10人からそのグループに入る5人を選びます。
組合せの公式を用いて、
10×9×8×7×6/5×4×3×2×1=252
それを2倍して・・・・
ストップ、ストップ!
この問題、2倍する必要はないのです。
どちらも6人グループなので、A君をB君に入れ替えたものは252通りの中に既に出てきています。
正解は、252通りです。

この話も理解しづらいことのようです。
何で6人6人になると急にそんなことになるの?

こういうときは人数を減らして、実際に全ての場合を書きだして確認するのが近道です。
6人の生徒を3人3人のグループに分けることにしましょう。
A、B、C、D、E、Fの6人の生徒で、A君、B君は必ず別のグループに入るとします。
(A、C、D)と(B、E、F)
(A、C、E)と(B、D、F)
(A、C、F)と(B、D、E)
(A、D、E)と(B、C、F)
(A、D、F)と(B、C、E)
(A、E、F)と(B、C、D)
分け方は、以上の6通り。
AをBに置き換えた場合を考えても、例えば、
(B、C、D)という分け方は、上の分け方の一番下に同じものがありますね。
人数が同じグループに分ける場合、2つのグループの見分けはつきませんから、全ての分け方が後半のグループに既に出てきているのです。
公式による計算では、これは、4人から2人を選ぶ組合せとなりますから、
4×3/2×1=6
やはり、2倍しなくてもこれが答えとなることがわかります。

例題3
12人の生徒がいます。A君B君を班長として「鶴の間」「亀の間」に6人ずつ宿泊します。泊まり方は何通りありますか。

人数は6人6人。
だったら、例題2と同じ252通り?
いいえ。
これは、252×2=504 で、504通りです。
この問題は、「鶴の間」にA君が泊まる場合とB君が泊まる場合は別の泊まり方になるからです。
同じ6人ずつでも、そのグループに名称がついていて区別がつく場合は、2倍する必要が生じます。

グループ分けに関する問題は、大きく分けてこの3通り。
問題のパターンが見分けられるようになると、以後は簡単ですね。



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