たまりば

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2016年03月20日

4月9日(土)、大人のための数学教室を開きます。


2016年3月19日(土)、大人のための数学教室を開きました。
本日のメインは「条件付き確率」です。
テキストの説明を読むだけだと異様に難しく感じるのが、この「条件付き確率」です。
例えば、こんな問題です。

例題 あるコンサートの入場者のうち、40%が高校生で、前売りを買って入場した高校生は全体の35%だった。入場者の中から任意の1人の高校生を選びだしたとき、その人が前売りを買っている確率を求めよ。

わかりにくいので、まず人数を具体的に設定して考えてみましょう。
あるコンサートの入場者は100人だったとします。
入場者の40%が高校生なのですから、その人数は、
100×0.4=40(人)となります。
また、前売りを買って入場した高校生の人数は、
100×0.35=35(人)です。
つまり、高校生40人のうち、前売りを買った人は35人。
よって、任意の1人の高校生が前売りを買っている確率は、
35/40=7/8
となります。

高校生を選びだしたときに、分母、すなわち「全体の場合の数」が変わるんです。
「高校生である」という条件が付いたので、分母が変わります。
これが「条件付き確率」です。
そんなに難しくはありません。

しかし、上のようにいちいち100人に例えて計算するのは煩わしい。
公式を作っておきたいですね。

ここで、「集合」の復習。
集合の要素の個数の表し方は、nを用いるのでした。
ある有限集合Aの要素の個数は、n(A)と表します。
上の例で言えば、全体集合の個数は、n(U)=100。
高校生の集合をAとすると個数は、n(A)=40。
前売りを買っている人の集合をBとすると個数は、n(B)。
高校生で前売りを買っている人の集合の個数は、n(A∩B)=35。
この条件付き確率は、n(A∩B)/n(A)=35/40 となります。

ところで、分数の性質として、分母・分子を同じ数で割っても、値は変わりません。
分子を全体集合の個数n(U)で割ると、その式は、
n(A∩B)/n(U)=P(A∩B)となり、これはA∩Bの確率。
確率はPで表すのでしたね。
分母を全体集合の個数n(U)で割ると、その式は、
n(A)/n(U)=P(A)となり、これは、Aの確率。
よって、条件付き確率は、P(A∩B)/P(A)で求めることができます。
これが条件付き確率の公式です。
PA(B)=P(A∩B)/P(A) と表記します。
PA(B)のAという文字は、本当はもっと小さく、小文字サイズで書きます。

この公式を利用すると、上の例題は、
高校生である確率、P(A)=0.4
前売りを買った高校生である確率、P(A∩B)=0.35
よって、この条件付き確率は、
PA(B)=0.35/0.4=35/40=7/8
公式で簡単に求めることができます。

さて、この条件付き確率は、この形の公式よりも、これを変形したもののほうが使い途があります。
PA(B)=P(A∩B)/P(A)
両辺をひっくり返すと、
P(A∩B)/P(A)=PA(B)
両辺にP(A)をかけると、
P(A∩B)=P(A)・PA(B)
このように変形した公式を「確率の乗法定理」といいます。
大変使いやすい定理です。

例題 黒玉が4個、白玉が7個入っている袋がある。この袋から玉を元に戻さずに1個ずつ2回取り出すとき、2個とも白玉である確率を求めよ。

1回目に白玉が出るという事象をA。
2回目に白玉が出るという事象をBとします。
P(A)=7/11 は、問題ありませんね。
ところで、2回目に白玉が出るのは、1回目に白玉が出ているという条件があっての確率、すなわち条件付き確率PA(B)となります。
この条件付き確率は現実の事象に即して考えたほうがわかりやすいです。
1回目に玉を1個取り出していますから、袋の中の全体の玉の数は10個。
そのうち白玉は、1つ減っていますから、6個。
したがって、PA(B)=6/10。
よって、2個とも白玉である確率は、
P(A∩B)=P(A)・PA(B)=7/11・6/10=21/55
となります。
実感としても何も問題なく、使いやすい公式ですね。
確率×確率で処理していけると、問題はかなりシンプルに解いていけます。


さて、次回の数学教室のお知らせです。
◎日時  4月9日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「場合の数と確率」を続けます。p44「独立・従属の判定」から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
       左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
       既にご参加いただいている方は携帯メールアドレスにご連絡ください。     









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